Question

Переріз циліндра, проведений паралельно його осі, знаходиться на відстані 2 см від неї і є квадратом. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 8√3π см2 . Знайдіть площу перерізу

Answer 1

Сечение цилиндра, проведенное параллельно его оси, находится на расстоянии 2 см от нее и является квадратом. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 8√3π см2 . Найдите площадь сечения.

Объяснение:

S( бок цилиндра)=2πrh, где , r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра , r>0,  h>0 . Тогда  8√3π=2πrh или 4√3=rh ,

Возведем обе части в квадрат( зачем? пригодится)

(4√3)²=r²h² , 48=r²h²  , r²=$\frac{48}{h^{2} }$   (*) .

В сечении -квадрат АВСК. Причем АВ=BC=h.  Площадь сечения S(квадрата)=BC²=h².    

Т.к. сечение цилиндра, проведенное параллельно его оси, находится на расстоянии 2 см , то ОМ⊥ВС , ОМ=2 см.

ΔВСО-равнобедренный и ОМ-высота , а значит и медиана . Тогда

ВМ=$\frac{BC}{2} =\frac{h}{2}$  .

ΔВМО-прямоугольный,  по т. Пифагора r²=2²+$(\frac{h}{2})^{2}$  или учитывая (*)

$\frac{48}{h^{2} }$ =4+ $\frac{h^{2} }{4}$  | *(4h²)    ⇒  48*4= 16h²+h⁴  или  h⁴+16h²-4*48=0 ,

D=16²+16*48=16²*4,

h²=(-16+16*2):2=8 ⇒ h=√8 см ;    h²=(-16-16*2):2=-24 ⇒h∈∅ .

S= (√8)²  или S= 8 см² .

Answer 2

Для знаходження площі перерізу циліндра, ми можемо використовувати дані про бічну поверхню і форму перерізу. Давайте розглянемо докладніше.

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 8√3π см². Бічна поверхня циліндра складається з прямокутника, який розгорнуто відзовну, і двох кругів (верхнього і нижнього), які також додаються до цієї площі.

Площа прямокутника - це довжина однієї сторони, помножена на довжину іншої сторони. Позначимо сторони прямокутника як a і b. За умовою, переріз є квадратом, і він розташований на відстані 2 см від осі циліндра. Оскільки квадрат, проведений паралельно осі, має бути центрованим, то відстань від центру квадрата до бічної сторони циліндра дорівнює половині сторони квадрата, тобто a/2.

Таким чином, одна сторона прямокутника a = 2 * 2 = 4 см.

Тепер ми знаємо довжину однієї сторони прямокутника. Для знаходження другої сторони (b) ми можемо використовувати площу бічної поверхні циліндра.

Площа бічної поверхні циліндра складається з площі прямокутника і площі двох кругів. Площа прямокутника дорівнює a * b, і площа двох кругів дорівнює 2 * π * r * h, де r - радіус циліндра, а h - висота циліндра.

За умовою завдання площа бічної поверхні циліндра дорівнює 8√3π см²:

a * b + 2 * π * r * h = 8√3π.

Підставимо відоме значення a:

4 * b + 2 * π * r * h = 8√3π.

Тепер ми повинні знайти значення b. Підставимо його значення в площу прямокутника:

4 * b = 8√3π - 2 * π * r * h.

b = (8√3π - 2 * π * r * h) / 4.

b = 2√3π - π * r * h.

Тепер ми знаємо значення обох сторін прямокутника (a і b). Щоб знайти площу перерізу (S), ми просто помножимо ці дві сторони:

S = a * b = 4 см * (2√3π - π * r * h) см.

S = 8√3π см² - 4π * r * h см².

Отже, площа перерізу циліндра дорівнює 8√3π см² - 4π * r * h см².