Question

Диагонали ромба относятся как 12:5, а его площадь равна 120 см2. Найди сторону ромба.

Answer 1

Ответ:

13см

Объяснение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S = (AC · BD) / 2.

BD=12х, АС=5х, тогда:

$\dfrac{5x*12x}{2} =120\\\\60x^{2} =240\\\\x^{2} =4\\\\x=2$

BD=12х=12*2=24cм, АС=5х=5*2=10см

Так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то рассмотрим прямоугольный треугольник АВО(∠0=90°).

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ⇒ АО=АС/2=10/2=5см,

ВО=ВD/2=24/2=12см.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ, которая является стороной ромба (у ромба все стороны равны):

$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2} } =\sqrt{5^{2} +12^{2} }=\\\\ =\sqrt{25+144} =\sqrt{169} =13$

Сторона ромба АВ = 13см

Answer 2

Давайте обозначим длины диагоналей ромба как $d_1$ и $d_2$, а сторону ромба как $a$. Мы знаем, что отношение диагоналей равно 12:5, то есть $\frac{d_1}{d_2} = \frac{12}{5}$.

Также, мы знаем, что площадь ромба можно выразить через диагонали следующим образом:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Известно, что площадь ромба равна 120 см², поэтому:

$120 = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Теперь мы можем выразить одну из диагоналей (допустим, $d_2$) через другую и площадь:

$d_2 = \frac{240}{d_1}$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$$\begin{align*} \frac{d_1}{d_2} &= \frac{12}{5} \\ d_2 &= \frac{240}{d_1} \end{align*}$$

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала выразим $d_2$ из первого уравнения:

$d_2 = \frac{5}{12}d_1$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{5}{12}d_1 = \frac{240}{d_1}$

Теперь умножим обе стороны на $d_1$:

$5d_1^2 = 240$

Теперь разделим обе стороны на 5:

$d_1^2 = 48$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получим:

$d_1 = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{см}$

Теперь, когда у нас есть длина одной из диагоналей ($d_1$), мы можем найти сторону ромба $a$, так как в ромбе диагонали делятся пополам:

$a = \frac{d_1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{см}$

Таким образом, сторона ромба равна $2\sqrt{3}$ см.