Question

Отрезки АД и МК пересекаются в точке О так,что АО=ДО,МО=ОК.Докажите, что прямые АМ и КД параллельны

Answer 1

Ответ:

★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★

Дано:

Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).

Доказать:

АВ║МК.

Доказательство:

                      ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).

Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂

ОВ = ОК.

Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.

Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.

▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂

Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).

                      ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.

АМ и ВК — диагонали.

▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.

▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂

Поэтому, по выше сказанному —

АВ║МК ; АК║ВМ

Объяснение:

Answer 2

Чтобы доказать, что прямые AM и KD параллельны, мы можем воспользоваться свойством параллельных линий и противоположных углов.

Дано:

1. Отрезки AO и DO равны: AO = DO.
2. Отрезки MO и OK равны: MO = OK.

Из данного условия следует, что точка O является серединой отрезка AD (половина AD) и также является серединой отрезка MK (половина MK).

Теперь рассмотрим треугольники AOM и DOM:

1. Следует из условия, что AO = DO, а MO общая сторона. Таким образом, по стороне-стороне-стороне (ССС) треугольники AOM и DOM равны.

2. Из свойства равных треугольников следует, что углы AMO и DMO также равны.

Рассмотрим теперь треугольники DMO и KOM:

1. MO = OK (дано)
2. Угол DMO = угол KOM (равные углы из предыдущего рассуждения)
3. Угол DOM = угол KOM (вертикальные углы)

Из этих свойств следует, что треугольники DMO и KOM равны.

Так как треугольники DMO и KOM равны, и их одна сторона (MO) принадлежит линии MK, то отрезки DM и KM равны. Таким образом, точка M является серединой отрезка DK.

Теперь рассмотрим треугольники AMO и KMO:

1. AO = OK (половина отрезка AD равна половине отрезка MK, так как O является серединой обоих отрезков)
2. MO общая сторона
3. Угол AOM = угол KOM (равные углы из предыдущего рассуждения)

Из этих свойств следует, что треугольники AMO и KMO равны.

Так как треугольники AMO и KMO равны, и их одна сторона (MO) принадлежит линии MK, то отрезки AM и KM равны. Таким образом, точка M является серединой отрезка AK.

Так как точка M является серединой как отрезка DK, так и отрезка AK, прямые AM и KD параллельны (по свойству серединного перпендикуляра в треугольнике).