Question

Около правильного треугольника описана окружность радиусом 12 см. Определите площадь этого треугольника.

Answer 1

Ответ:

вот как-то так надеюсь правельно

Answer 2

Если около правильного треугольника описана окружность радиусом 12 см, то это означает, что каждая сторона треугольника касается этой окружности. Также, для правильного треугольника все стороны равны, и все углы равны 60 градусов.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, является радиусом вписанной окружности треугольника. Связь между радиусами описанной и вписанной окружностей и стороной треугольника дана следующей формулой:

$R = \frac{r}{\cos(\frac{\pi}{6})}$,

где $R$ - радиус описанной окружности, $r$ - радиус вписанной окружности, $\frac{\pi}{6}$ - угол между стороной треугольника и радиусом вписанной окружности.

Мы знаем, что радиус описанной окружности $R$ равен 12 см, и угол $\frac{\pi}{6}$ равен 30 градусам (поскольку в правильном треугольнике каждый угол 60 градусов, а половина этого угла равна 30 градусам).

Теперь мы можем решить уравнение для радиуса вписанной окружности $r$:

$12 = \frac{r}{\cos(30^\circ)}$.

Теперь найдем значение $\cos(30^\circ)$. Косинус 30 градусов равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$12 = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Умножим обе стороны на (\frac{2}{\sqrt{3}}), чтобы избавиться от дроби:

$r = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем значение $r$:

$r \approx 13.856$.

Теперь у нас есть радиус вписанной окружности $r$, и мы можем найти площадь правильного треугольника с помощью следующей формулы:

$Площадь = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$,

где $a$ - длина стороны треугольника.

Мы уже знаем, что радиус вписанной окружности $r$ равен 13.856 см. Так как внутренний радиус треугольника равен расстоянию от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника, то он равен длине высоты, проведенной из вершины треугольника до основания, разделяя треугольник на два равнобедренных треугольника.

Из этого следует, что $a = 2r = 2 \cdot 13.856 \approx 27.712$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

$Площадь = \frac{(27.712)^2 \sqrt{3}}{4} \approx 380.194$ квадратных см.

Ответ: Площадь правильного треугольника, описанного около данной окружности, составляет приблизительно 380.194 квадратных сантиметра.