Question

Дан правильный треугольник. В него вписан круг радиуса 1. Другой круг, меньшего радиуса, касается данного круга и двух сторон треугольника. Найдите площадь меньшего круга

Answer 1

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен одной трети высоты, значит диаметр равен: d=2r/3=2/3. h=3r=3.
Проведём касательную параллельно основанию, как показано на рисунке. Полученный треугольник правильный. В него и вписана вторая окружность.
Высота этого тр-ка h₁=h-d=3r-2r/3=r=1.
Радиус малого тр-ка: r₁=h₁/3=1/3.
Площадь малой окружности: S₁=πr₁²=π/9 - это ответ.

Answer 2

Пусть $R$ - радиус большего круга (вписанного в правильный треугольник), а $r$ - радиус меньшего круга.

Так как $R$ равен 1 (радиус вписанного круга), то $r$ будет равен $R/2$ (так как меньший круг касается большего внутренним образом и делит его диаметр пополам).

Таким образом, $r = \frac{1}{2}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Подставим $r = \frac{1}{2}$ в формулу:

$S = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, площадь меньшего круга $S = \frac{\pi}{4}$.