Question

Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам. С рисунком.

Answer 1

Ответ:

всё во вложении

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой синусов и рассмотрим треугольник ABC. Предположим, что биссектриса из вершины A делит сторону BC на два отрезка, которые обозначим как BD и DC, где D - точка пересечения биссектрисы с стороной BC. Мы хотим доказать, что отношение длин отрезков BD и DC пропорционально отношению длин прилежащих сторон треугольника.

Давайте обозначим следующие длины и углы:

• Пусть a - длина стороны BC (a = BC).
• Пусть b - длина стороны AC (b = AC).
• Пусть c - длина стороны AB (c = AB).
• Пусть α - угол при вершине A (угол BAC).
• Пусть β - угол при вершине B (угол ABC).
• Пусть γ - угол при вершине C (угол ACB).

Согласно теореме синусов, мы имеем следующее уравнение:

(1) a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Теперь давайте рассмотрим треугольники ABD и ADC. В этих треугольниках у нас есть следующие соотношения:

В треугольнике ABD:

• Угол BAD = β/2 (половина угла B)
• Угол ADB = α/2 (половина угла A)

В треугольнике ADC:

• Угол CAD = β/2 (половина угла B)
• Угол ADC = α/2 (половина угла A)

Теперь, снова применяя теорему синусов к каждому из этих треугольников, мы получаем следующие уравнения:

(2) BD/sin(β/2) = b/sin(α/2) (3) CD/sin(β/2) = c/sin(α/2)

Теперь мы можем объединить уравнения (2) и (3) и упростить их:

BD/CD = (b/sin(α/2)) / (c/sin(α/2))

Заметим, что sin(α/2) отменяется, и мы получаем:

BD/CD = b/c

Исходя из этого уравнения, мы видим, что отношение длин отрезков BD и DC равно отношению длин прилежащих сторон треугольника, что и требовалось доказать.

Таким образом, биссектриса треугольника действительно делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.