Question

У рівнобічній трапеції ABCD основа ВС = 4см, висота СЕ = 2√3см, а бічна сторона утворює з основою AD кут 60⁰. Знайдіть діагональ трапеції ​

Answer 1

Ответ:

$4\sqrt{3}$ см.

Объяснение:

Пусть задана равнобедренная трапеция ABCD.

ВС= 4см, высота СЕ= 2√3 см,  ∠ А= ∠D=60 °.

Так как СЕ - высота, то треугольник Δ СЕD - прямоугольный.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется  отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg 60^{0} =\dfrac{CE}{ED } ;\\\\ED= \dfrac{CE }{tg 60^{0}} ;\\\\ED= \dfrac{2\sqrt{3} }{tg 60^{0}} = \dfrac{2\sqrt{3} }{\sqrt{3} } = 2$

Если в равнобедренной трапеции провести еще высоту ВМ, то АМ = ЕD= 2 см.

Найдем длину отрезка АЕ

АЕ = АМ +МЕ ;

АЕ = 2+4 =6 см.

Рассмотрим Δ  АСЕ - прямоугольный и найдем АС по теореме Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AC ^{2} = CE^{2} + AE ^{2} ;\\ AC= \sqrt{ CE^{2} + AE ^{2}} ;\\AC= \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} +6^{2} } =\sqrt{12+36} =\sqrt{48} =\sqrt{16\cdot3 } =4\sqrt{3}$

Значит, диагональ АС =4√3 см. У равнобедренной трапеции диагонали равны. Тогда  $BD=AC= 4\sqrt{3}$  см.

Answer 2

Для знаходження діагоналі трапеції можна скористатися теоремою косинусів. Діагональ трапеції є однією зі сторін кутового трикутника, утвореного в цій трапеції. Давайте позначимо діагональ як BD.

За теоремою косинусів можна записати:

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 * BC * CD * cos(60°)

Де: BC - довжина сторони BC трапеції (4 см), CD - довжина сторони CD трапеції (що нам не відома), cos(60°) - косинус 60 градусів (це значення відомо, воно дорівнює 1/2).

Також, ми можемо знайти CD, використовуючи висоту СЕ. Оскільки СЕ - висота, то вона розділяє трапецію на два 30-60-90 трикутники, тому:

CE = (BC / 2) = 4 / 2 = 2 см,

Також, ми знаємо, що тангенс 60 градусів дорівнює √3, і ми можемо використовувати властивості тангенса у прямокутних трикутниках:

tan(60°) = CE / CD √3 = 2√3 / CD

Тепер можемо знайти CD:

CD = 2√3 / √3 = 2 см.

Тепер підставимо відомі значення у формулу для BD:

BD^2 = (4^2) + (2^2) - 2 * 4 * 2 * (1/2) BD^2 = 16 + 4 - 4 BD^2 = 16

Тепер візьмемо квадратний корінь з обох боків:

BD = √16 BD = 4 см.

Отже, діагональ трапеції BD дорівнює 4 см.