Question

Острый угол равнобокой трапеции равен 45о. Сумма длин ее боковых сторон и меньшего основания равна 18√2 см. Найдите высоту и площадь трапеции, если ее диагональ является биссектрисой угла при основании.

Answer 1

-----------------------------

Answer 2

Давайте обозначим данную трапецию и её особенности:

Пусть ABCD - трапеция, где AB и CD - основания, AB || CD, и AD = BC - боковые стороны равнобокой трапеции.

У нас также есть следующая информация:

1. Угол BAD (и угол BCD) равен 45 градусов, так как трапеция равнобокая.
2. Сумма длин боковых сторон (AD + BC) и меньшего основания (CD) равна 18√2 см.
3. Диагональ AC является биссектрисой угла при основании. Это означает, что угол CAD (и угол BAC) равен 45 градусов.

Мы можем разбить эту трапецию на два прямоугольных треугольника - ABC и ACD, где угол CAD равен 45 градусов.

1. Найдем длины боковых сторон AD и BC. Поскольку AD = BC, обозначим их как x:

AD = BC = x

2. Сумма длин боковых сторон и меньшего основания равна 18√2:

AD + BC + CD = 18√2

x + x + CD = 18√2

2x + CD = 18√2

CD = 18√2 - 2x

3. Из прямоугольного треугольника ABC мы знаем, что:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = (2x)^2 + x^2

AB^2 = 4x^2 + x^2

AB^2 = 5x^2

AB = x√5

4. Теперь мы можем найти длину большего основания CD с использованием уравнения, связывающего сумму сторон:

CD = 18√2 - 2x

Теперь мы знаем длину обоих оснований и одну из боковых сторон. Мы также знаем, что угол CAD равен 45 градусов, поэтому он делит большее основание пополам. Таким образом, CD = 1/2 * AB:

18√2 - 2x = 1/2 * (x√5)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

36√2 - 4x = x√5

Теперь выразим x:

36√2 = x√5 + 4x

36√2 = x(√5 + 4)

x = (36√2) / (√5 + 4)

5. Теперь мы можем найти высоту h, используя прямоугольный треугольник ACD:

tan(45°) = h / x

h = x

h = (36√2) / (√5 + 4)

6. Теперь, когда у нас есть длины оснований и высота, мы можем найти площадь трапеции (S):

S = (1/2) * (AB + CD) * h

S = (1/2) * (x√5 + (18√2 - 2x)) * h

S = (1/2) * ((36√2 / (√5 + 4))√5 + (18√2 - 2 * (36√2 / (√5 + 4)))) * (36√2 / (√5 + 4))

После вычисления этого выражения, вы найдете площадь трапеции S.