Question

Знайдіть косинуси кутів трикутника, якщо А(1;-3:4). В(2:-2;5), С(3;1;3) Знайдіть довжину медіани АК та периметр трикутника АВС.​

Answer 1

Ответ:

АМ = 1 ед.

Объяснение:

Медиана АМ делит сторону ВС треугольника пополам.

Найдем координаты точки М как середины отрезка ВС:

Хm = (Хb+Xc)/2 = (0+(-2))/2 = -1.

Ym = (Yb+Yc)/2 = (-1+(-1))/2 = -1.

Zm = (Zb+Zc)/2 = (3+(-1))/2 = 1.

Тогда длина медианы АМ (модуль вектора АМ) равна:

|AM| = √((Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²+(Zm-Za)² =>

|AM| = √((-1-0)²+(-1-(-1))²+(1-1)² = √(1+0+0) = 1.

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження косинусів кутів трикутника АВС, спочатку нам потрібно знайти вектори AB, AC і BC. Потім ми використаємо формулу для знаходження косинусів кутів між векторами.

1. Знайдемо вектори AB, AC і BC:

Вектор AB = B - A = (2 - 1, -2 - (-3), 5 - 4) = (1, 1, 1) Вектор AC = C - A = (3 - 1, 1 - (-3), 3 - 4) = (2, 4, -1) Вектор BC = C - B = (3 - 2, 1 - (-2), 3 - 5) = (1, 3, -2)

2. Тепер знайдемо косинуси кутів трикутника АВС використовуючи скалярний добуток векторів і їхні довжини:

Косинус кута A = (AB • AC) / (||AB|| * ||AC||) Косинус кута B = (AB • BC) / (||AB|| * ||BC||) Косинус кута C = (AC • BC) / (||AC|| * ||BC||)

Де AB • AC, AB • BC і AC • BC - це скалярні добутки векторів, а ||AB||, ||AC|| і ||BC|| - це їхні довжини.

Довжину вектора можна знайти за формулою: ||V|| = √(Vx^2 + Vy^2 + Vz^2), де Vx, Vy і Vz - це компоненти вектора V.

||AB|| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3 ||AC|| = √(2^2 + 4^2 + (-1)^2) = √21 ||BC|| = √(1^2 + 3^2 + (-2)^2) = √14

Тепер розрахуємо скалярні добутки і косинуси кутів:

AB • AC = (1 * 2 + 1 * 4 + 1 * (-1)) = 5 AB • BC = (1 * 1 + 1 * 3 + 1 * (-2)) = 2 AC • BC = (2 * 1 + 4 * 3 + (-1) * (-2)) = 15

Косинус кута A = (5) / (√3 * √21) ≈ 0.508 Косинус кута B = (2) / (√3 * √14) ≈ 0.385 Косинус кута C = (15) / (√21 * √14) ≈ 0.920

3. Тепер знайдемо довжину медіани AK. Медіана - це вектор, який сполучає середину сторони BC з вершиною A. Спочатку знайдемо середину сторони BC:

Середина BC = (B + C) / 2 = ((2, -2, 5) + (3, 1, 3)) / 2 = (5/2, -1/2, 8/2) = (5/2, -1/2, 4)

Тепер знайдемо вектор AK, який сполучає точку A з серединою BC:

Вектор AK = (5/2 - 1, -1/2 - (-3:4), 4 - 4) = (3/2, 7/4, 0)

Довжина медіани AK:

||AK|| = √((3/2)^2 + (7/4)^2 + 0^2) = √(9/4 + 49/16) = √(36/16 + 49/16) = √(85/16) = √85/4

4. Тепер знайдемо периметр трикутника ABC, додавши довжини всіх трьох сторін:

Периметр ABC = ||AB|| + ||AC|| + ||BC|| = √3 + √21 + √14

Отже, косинуси кутів трикутника АВС близько: Косинус кута A ≈ 0.508, Косинус кута B ≈ 0.385, Косинус кута C ≈ 0.920.

Довжина медіани AK ≈ √85/4.

Периметр трикутника ABC ≈ √3 + √21 + √14.