Question

В прямоугольном треугольнике АВС точка М лежит на катете АС, причем СМ = ВС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем CN =AC. a) Отрезок CH - высота треугольника ABC, CF - высота треугольника CMN, Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны. 6) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM, если ВС =4, a AC=8.

Answer 1

Ответ: а) прямые СН⊥ CF - доказано. б) LM =2√2 (ед. длины)

Объяснение:

   Треугольники АСN и МСВ - прямоугольные и равнобедренные по построению.

В ⊿ АСВ катет ВС=4,  катет АС=8

В ⊿ МСN катет МС=4,  катет CN=8

ВС=МС, АС=NC;⇒⊿ АСВ =⊿ МСN по 1-му признаку, их сходные острые углы равны.  

а) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе,  делит его на два подобных друг другу и исходному.

   ⊿ FCM≈⊿ АСВ≈⊿ АСН ⇒ их сходные углы равны.  

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°⇒

Угол FCM+угол АСН=90°, что и требовалось доказать.

б) В ⊿ АLM сторона АМ=АС-МС=8-4=4; углы при АМ равны по 45°, т.к.  ∠АМL=∠CMB - вертикальные, ∠МАL =45° как угол равнобедренного  ⊿АСN⇒

⊿ АLM - равнобедренный, ∠АLM=90°.⇒

Катет LM=АМ•sin45°=4•√2/2=2√2 (ед. длины)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из ваших частей по порядку:

a) Чтобы доказать, что прямые СН и CF перпендикулярны, докажем, что треугольники CHN и CFC подобны, и из этого следует, что угол NCH равен углу FCB.

1. Рассмотрим треугольники CHN и CFC. У нас уже есть, что CN = AC, и мы также знаем, что CM = BC. Так как треугольники имеют общий угол у вершины C и общий угол при C, то они подобны по признаку AA (угол-угол).

2. Поэтому мы имеем следующее:

   CHN подобен CFC

3. Теперь, если два треугольника подобны, то их соответствующие углы равны. Таким образом, угол NCH равен углу FCB. Если угол NCH равен углу FCB, это означает, что прямые СН и CF перпендикулярны.

6. Чтобы найти LM, нам нужно определить точку L и использовать теорему Пифагора.

1. Из условия известно, что BC = 4 и AC = 8.

2. Так как BC = CM, то мы также имеем CM = 4.

3. Теперь рассмотрим треугольник ACM. Он прямоугольный, так как это прямоугольный треугольник ABC. Из этого следует, что он подчиняется теореме Пифагора:

   AC^2 = AM^2 + CM^2

   8^2 = AM^2 + 4^2

   64 = AM^2 + 16

4. Теперь найдем AM:

   AM^2 = 64 - 16

   AM^2 = 48

   AM = √48

5. Теперь мы знаем, что точка M находится на катете AC и что AM = √48. Теперь мы можем использовать это, чтобы найти точку L, в которой пересекаются прямые VM и AN.

6. Из условия известно, что CM = 4 и CN = AC = 8. Таким образом, точка C находится в середине отрезка MN.

7. Следовательно, точка L, в которой пересекаются прямые VM и AN, также находится в середине отрезка AM:

   AL = AM / 2

   AL = (√48) / 2

   AL = √12

8. Теперь мы хотим найти LM. Мы знаем, что MC = 4 и CL = √12, и мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике MLC:

   ML^2 = MC^2 + CL^2

   ML^2 = 4^2 + (√12)^2

   ML^2 = 16 + 12

   ML^2 = 28

   ML = √28

9. Таким образом, LM = √28.