Question

доведіть за допомогою векторів що читорикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб пожалуйста с решением!

Answer 1

Признаки ромба: равенство сторон и неравенство диагоналей.

Перпендикулярность диагоналей и деление их точкой пересечения пополам вытекают как следствие из равенства сторон по свойству равнобедренных треугольников.

Точка А  Точка В  Точка С  

х    у            х   у              х    у

1    5            7   7             13   5

Длины сторон    

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   40 6,32455532

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   40 6,32455532

AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   144 12

Точка D  BD = √((xD-xB)² + (yD-yB)²) =   16 4

х у СD = √((xD-xС)² + (yD-yС)²) =   40 6,32455532

7 3 AD = √((xD-xA)² + (yD-yA)²) =   40 6,32455532.

Как видим - все признаки совпали.

Доказано: чотирикутник з вершинами в точках А(1;5),В(7;7),С(13;5) i D(7;3)-ромб.

Это же можно доказать и по векторам.

АВ = (7-1; 7-5) = (6; 2), |AB| = √(36 + 4) = √40.

BC = (13-7; 5-7) = (6; -2), |BC| = √(36 + 4) = √40.

CD = (7-13; 3-5) = (-6; -2), |CD| = √(36 + 4) = √40.

AD = (7-1; 3-5) = (6; -2), |AD| = √(36 + 4) = √40.

Диагонали:

BD = (7-7; 3-7) = (0; -4), |BD| = 4.

AC = (13-1; 5-5) = (12; 0), |AC| = 12.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD - ромб, можна використовувати вектори. Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони однакової довжини, і всі кути рівні.

Спочатку знайдемо вектори для сторін чотирикутника ABCD:

1. Вектор AB: Вектор, що з'єднує точки A та B, буде мати наступні компоненти: AB = (7 - 1, 7 - 5) = (6, 2)

2. Вектор BC: Вектор, що з'єднує точки B та C, матиме наступні компоненти: BC = (13 - 7, 5 - 7) = (6, -2)

3. Вектор CD: Вектор, що з'єднує точки C та D, матиме наступні компоненти: CD = (7 - 13, 3 - 5) = (-6, -2)

4. Вектор DA: Вектор, що з'єднує точки D та A, матиме наступні компоненти: DA = (1 - 7, 5 - 3) = (-6, 2)

Тепер ми можемо перевірити, чи є всі сторони ABCD однакової довжини, порівнявши довжини векторів:

AB = sqrt(6^2 + 2^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) BC = sqrt(6^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) CD = sqrt((-6)^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) DA = sqrt((-6)^2 + 2^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40)

Отже, усі сторони ABCD мають однакову довжину, яка дорівнює sqrt(40). Крім того, ми можемо помітити, що кожний кут між суміжніми сторонами ABCD складає 90 градусів (бо вектори AB, BC, CD і DA взаємно перпендикулярні).

Отже, ми довели, що ABCD є ромбом.