Question

Срочно!!! В треугольнике точка пересечения медиан совпадает с ортоцентром. Докажите, что данный треугольник равносторонний.​

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В данном треугольнике эти точки совпадают - медианы являются также высотами.

Совпадение медианы и высоты к основанию - признак равнобедренного треугольника.

Таким образом данный треугольник является равнобедренным относительно любой стороны, то есть равносторонним.

O - точка пересечения медиан, AA1 - медиана, A1 - середина BC.

O - точка пересечения высот (ортоцентр), AA1 проходит через точку O => AA1 - высота, AA1⊥BC

∠AA1B=∠AA1C=90 (AA1 - высота)

BA1=CA1 (AA1 - медиана)

△BAA1=△CAA1 (по двум катетам, AA1 - общий) => AB=AC

(Доказали: Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.)

Аналогично: BB1 - медиана и высота к стороне AC => AB=BC

AB=AC=BC, △ABC - равносторонний

Answer 2

Для доказательства этого утверждения предположим, что точка пересечения медиан (центр масс) совпадает с ортоцентром в треугольнике. Мы хотим доказать, что треугольник является равносторонним.

Пусть треугольник ABC - это треугольник, в котором точка пересечения медиан совпадает с ортоцентром. Медианы в треугольнике соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Таким образом, точка пересечения медиан (центр масс) в треугольнике находится на пересечении трех линий, каждая из которых соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Поскольку ортоцентр в треугольнике является точкой пересечения высот (перпендикуляров, проведенных из вершин к противоположным сторонам), он также лежит на линии, соединяющей вершину с противоположной стороной.

Теперь, если центр масс совпадает с ортоцентром, это означает, что все три линии (медианы и высоты) пересекаются в одной и той же точке. Таким образом, ортоцентр и центр масс находятся в одной и той же точке, а это возможно только в равностороннем треугольнике.

Следовательно, если точка пересечения медиан совпадает с ортоцентром в треугольнике, то этот треугольник является равносторонним.