Question

Доведіть що чотирикутник ABCD вершина якого знаходиться в точках A(3;-1;-2), B(-5;7;4), C(1;5;2;), D(9;-3;-4) є паралелограмом​

Answer 1

Даны точки A(3;-1;-2), B(-5;7;4), C(1;5;2), D(9;-3;-4).

Требуется доказать, что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

1) a - направляющий вектор прямой AB,  

a = (xB - xA; yB - yA; zB - zA) = (-5 - 3); 7 - (-1); 4 - (-2)) = (-8; 8; 6),    

d - направляющий вектор прямой DC,  

d = (xC - xD; yC - yD; zC - zD) = (1 - 9; 5 – (-3); 2 – (-4)) = (-8; 8; 6);  

Они равны - значит, параллельны.

2) b - направляющий вектор прямой BC,  

b = (xC - xB; yC - yB; zC - zB) = (1 - (-5); 5 - 7; 2 - 4) = (6; -2; -2);

c - направляющий вектор прямой AD,  

c = (xD - xA; yD - yA; zD - zA) = (9 - 3; -3 - (-1); -4 - (-2)) = (6; -2; -2);

Они равны - значит, параллельны.

Доказано, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, необхідно показати, що протилежні сторони паралельні одна одній. Для цього ми можемо визначити вектори, які представляють кожну зі сторін чотирикутника і перевірити, чи ці вектори паралельні.

Для обчислення векторів сторін ми використовуємо координати вершин. Вектор AB можна обчислити як різницю координат вершин A і B:

AB = B - A = (-5 - 3, 7 - (-1), 4 - (-2)) = (-8, 8, 6).

Вектор CD можна обчислити як різницю координат вершин C і D:

CD = D - C = (9 - 1, -3 - 5, -4 - 2) = (8, -8, -6).

Тепер ми повинні перевірити, чи вектори AB і CD є паралельними. Два вектори є паралельними, якщо вони мають однаковий напрям і відмінність у довжині. У нашому випадку вони мають однаковий напрям, оскільки один вектор є просто кратним іншому:

AB = -1 * CD.

Тепер давайте розглянемо інші дві сторони чотирикутника, BC і AD.

BC = C - B = (1 - (-5), 5 - 7, 2 - 4) = (6, -2, -2).

AD = D - A = (9 - 3, -3 - (-1), -4 - (-2)) = (6, -2, -2).

Також видно, що вектори BC і AD мають однаковий напрям і відмінність у довжині:

BC = AD.

Отже, ми показали, що протилежні сторони AB і CD, а також BC і AD чотирикутника ABCD є паралельними. Тому чотирикутник ABCD є паралелограмом.

Answer 3

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, нам потрібно показати, що протилежні сторони цього чотирикутника паралельні одна одній.

Спочатку знайдемо вектори, які відповідають сторонам чотирикутника. Для цього візьмемо різниці координат від однієї вершини до іншої:

Вектор AB = B - A = (-5 - 3, 7 - (-1), 4 - (-2)) = (-8, 8, 6) Вектор BC = C - B = (1 - (-5), 5 - 7, 2 - 4) = (6, -2, -2) Вектор CD = D - C = (9 - 1, -3 - 5, -4 - 2) = (8, -8, -6) Вектор DA = A - D = (3 - 9, -1 - (-3), -2 - (-4)) = (-6, 2, 2)

Тепер нам потрібно перевірити, чи є ці вектори паралельними. Для цього ми порівняємо їхні напрями.

Вектор AB = (-8, 8, 6) Вектор CD = (8, -8, -6)

Вектор BC = (6, -2, -2) Вектор DA = (-6, 2, 2)

Якщо вектори AB і CD є пропорційними один до одного (тобто можна помножити один вектор на константу, щоб отримати інший), і вектори BC і DA теж є пропорційними, то це означає, що протилежні сторони чотирикутника паралельні.

Давайте перевіримо це:

AB / CD = (-8 / 8, 8 / -8, 6 / -6) = (-1, -1, -1) BC / DA = (6 / -6, -2 / 2, -2 / 2) = (-1, -1, -1)

Оскільки отримані вектори є пропорційними з однаковими коефіцієнтами, то ми можемо зробити висновок, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, оскільки протилежні сторони паралельні одна одній.