Question

знайдіть катети прямокутного трикутника, висота якого ділить гіпотенузу на відрізки, один з яких на 3 см менший від цієї висоти, а другий на 4 см більший за висоту​

Answer 1

Ответ: 12 см

Объяснение: Свойство высоты прямоугольного треугольника:

ВД²=АД*ДС

Пусть ВД=х, тогда АД=х-3, ДС= х+4.

Answer 2

Давайте позначимо висоту прямокутного трикутника як "h" і гіпотенузу як "c". За умовою, один відрізок гіпотенузи коротший на 3 см, а інший довший на 4 см від висоти.

Отже, один з відрізків гіпотенузи дорівнює (h - 3) см, інший - (h + 4) см.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику справедлива наступна рівність:

c^2 = a^2 + b^2

де "c" - гіпотенуза, "a" і "b" - катети.

В нашому випадку:

c^2 = (h - 3)^2 + (h + 4)^2

Тепер розглянемо наступну формулу для різниці квадратів:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Ми можемо використати цю формулу для розкладання квадратів (h - 3)^2 і (h + 4)^2:

(h - 3)^2 = h^2 - 6h + 9 (h + 4)^2 = h^2 + 8h + 16

Тепер підставимо ці вирази у рівняння для гіпотенузи:

c^2 = (h - 3)^2 + (h + 4)^2 c^2 = (h^2 - 6h + 9) + (h^2 + 8h + 16)

Об'єднавши подібні члени:

c^2 = 2h^2 + 2

Тепер виразимо гіпотенузу "c":

c = √(2h^2 + 2)

Отже, ми знайшли вираз для гіпотенузи "c" в термінах висоти "h". Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для "h" з врахуванням умови, що один відрізок гіпотенузи коротший на 3 см, а інший довший на 4 см:

(h - 3) + (h + 4) = √(2h^2 + 2)

Розкриємо дужки та спростимо:

2h + 1 = √(2h^2 + 2)

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрата, щоб позбутися кореня:

(2h + 1)^2 = 2h^2 + 2

Розкриємо квадрат лівої сторони:

4h^2 + 4h + 1 = 2h^2 + 2

Тепер віднімемо 2h^2 та 2 з обох сторін:

2h^2 + 4h - 1 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня. Корені цього рівняння будуть значеннями висоти "h".