Question

Дано вектори a(-7; 4), b(1; 3), c(x; -5). При якому значенні х модуль вектора a-b+c буде найменший?

Answer 1

Ответ:

x=8

Объяснение:

а-b+c = (-7-1+x; 4-3+(-5)) = (-8+x; -4)

|a-b+c|=√((-8+x)²+(-4)²) =

=√(64+x²-16x+16) =√(x²-16x+80) = min → будет минимальным, если:

x²-16x+80 = min

это парабола, а=1>0 → минимальное значение будет в вершине параболы:

х(вершины)=-b/2a=-(-16)/(2*1)=16/2=8

Answer 2

Модуль вектора a-b+c визначається як довжина вектора, і ми можемо знайти його мінімальне значення, розглядаючи різні значення x.

Спочатку знайдемо вектори a-b і a-b+c, а потім знайдемо їхні модулі.

Вектор a-b: a - b = (-7, 4) - (1, 3) = (-7 - 1, 4 - 3) = (-8, 1)

Вектор a-b+c: a - b + c = (-8, 1) + (x, -5) = (-8 + x, 1 - 5) = (-8 + x, -4)

Тепер знайдемо модуль цього вектора:

|a - b + c| = √((-8 + x)² + (-4)²) = √((-8 + x)² + 16)

Для того, щоб знайти значення x, при якому модуль вектора a-b+c буде найменший, ми можемо знайти похідну модуля вектора по x і прирівняти її до нуля:

d/dx [√((-8 + x)² + 16)] = 0

Знайдемо похідну:

d/dx [√((-8 + x)² + 16)] = (1/2) * [(-8 + x)² + 16)^(-1/2) * 2(x - 8)

Тепер прирівняємо це до нуля і розв'яжемо для x:

(1/2) * [(-8 + x)² + 16)^(-1/2) * 2(x - 8) = 0

(-8 + x)² + 16 = 0

(-8 + x)² = -16

x - 8 = ±√(-16)

x - 8 = ±4i

x = 8 ± 4i

Отже, модуль вектора a-b+c буде мінімальним при значенні x, рівному 8 ± 4i.