Question

Выведите, пожалуйста, формулу "сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение оснований" с помощью теоремы Стюарта.

Answer 1

BA1||CA, CD1||BD

т Стюарта для треугольников A1BD и ACD1

b^2 = e^2 a/(a+c) + f^2 c/(a+c) -ac

d^2 = e^2 c/(a+c) + f^2 a/(a+c) -ac

Сложим

b^2 +d^2 = e^2 (a+c)/(a+c) + f^2 (a+c)/(a+c) -2ac =>

e^2 +f^2 = b^2 +d^2 +2ac

Answer 2

Формула, которую вы описали, называется теоремой Стюарта для трапеции. Теорема Стюарта утверждает, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин её оснований.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD - основания трапеции, а AC и BD - её диагонали. Пусть a и b - длины оснований, c - длина одной из боковых сторон, и d - длина другой боковой стороны.

Тогда формула теоремы Стюарта для трапеции выглядит следующим образом:

c^2 + d^2 = a^2 + b^2 + 2ab

Это утверждение можно доказать, используя теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.