Question

С точки В к плоскости b проведены две равные наклонные, угол между которыми является прямым. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость в равен 120 °. Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью b

Answer 1

Ответ:       cosA = cosC = √6/3 .

Объяснение:    

Нехай ВА = ВС - дані похилі . Проведемо ВО⊥(b) , тоді ΔВОА = ΔВОС .

Тому ∠А =∠С ; ОА = ОС ; ∠АОС = 120°.         Позначимо АВ = ВС = а ,тоді із ΔАВС  АС =а√2 .  Із ΔАОС за Т. косинусів маємо :

АС² = ОА² + ОС² - 2*ОА*ОС*cos120° ;  але  ОА = ОС , тому

( а√2)² = 2* ОА² + 2* ОА² *сos60° ;

2* OA² + 2* OA² * 1/2 = 2a² ;

3* OA² = 2a² ;

OA² = 2a²/3 ;

OA = a√6/3 .       cosA = OA/AB = a√6/3 : a = √6/3 ;     cosA = √6/3 .

 

Answer 2

Давайте обозначим наклонные линии как AB и AC, где точка B лежит на плоскости B, а точка C лежит на той же плоскости. Также обозначим угол между наклонными линиями AB и AC как α.

Известно, что угол между проекциями данных наклонных линий на плоскость B равен 120 градусов. Обозначим угол между проекциями как β.

Теперь мы можем использовать связь между углами α и β:

cos(β) = cos(180° - 120°) = cos(60°) = 0.5

Теперь у нас есть значение косинуса угла β. Теперь давайте найдем косинус угла α, который является углом между наклонными линиями AB и AC. Для этого мы можем использовать тригонометрический закон косинусов:

cos(α) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Поскольку наклонные линии AB и AC равны, мы можем записать это как:

cos(α) = (2 * AB^2 - BC^2) / (2 * AB^2)

Теперь давайте воспользуемся косинусом угла β, который мы вычислили ранее:

0.5 = (2 * AB^2 - BC^2) / (2 * AB^2)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BC^2:

0.5 * 2 * AB^2 = 2 * AB^2 - BC^2

AB^2 = BC^2

Теперь, чтобы найти косинус угла α, нам нужно выразить BC через AB. Мы знаем, что AB и AC равны и образуют угол α, поэтому мы можем использовать тригонометрический закон косинусов для треугольника ABC:

cos(α) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Подставив значение AB^2 = BC^2, у нас получится:

cos(α) = (BC^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * BC * AC)

cos(α) = (AC^2 - BC^2) / (2 * BC * AC)

Теперь мы знаем, что AB^2 = BC^2 и можем заменить BC^2 в формуле:

cos(α) = (AC^2 - AB^2) / (2 * AB * AC)

cos(α) = (AC^2 - AB^2) / (2 * AB^2)

Теперь, если мы знаем значения AC и AB, мы можем вычислить косинус угла α.