Question

Биссектрисы треугольника ABCпересекаются в точке P .Найдите длину отрезка CP,если AB=AC=5,BC=8

Answer 1

Ответ: $\frac{4}{3} \sqrt{10}$

Объяснение:

пусть AP пересекает BC в точке M, тогда M - середина BC и CM=BC/2=4. По теореме Пифагора $AM^2+CM^2=AB^2; AM^2=5^2-4^2=3^2; AM=3$. Верен следующий факт: бисектрисса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Отсюда $\frac{AP}{AC}=\frac{PM}{CM}; \frac{AP}{PM}=\frac{AC}{CM}=\frac{5}{4} ; \frac{PM}{AM} =\frac{4}{9}; PM=\frac{4}{3}$. По теореме Пифагора $CP^2=PM^2+CM^2=(\frac{4}{3})^2+4^2=10(\frac{4}{3})^2; CP=\frac{4}{3}\sqrt{10}$

P.s. Это восьмой класс

Answer 2

Для нахождения длины отрезка CP, нужно использовать биссектрисы треугольника ABC и информацию о длинах его сторон. Мы можем воспользоваться теоремой углового биссектрисы. Сначала давайте найдем углы в треугольнике.

Дано: AB = AC = 5 (две стороны равны) BC = 8 (сторона между этими двумя сторонами)

Сначала найдем угол BAC, используя закон косинусов: cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) cos(BAC) = (5^2 + 5^2 - 8^2) / (2 * 5 * 5) cos(BAC) = (25 + 25 - 64) / (2 * 25) cos(BAC) = (50 - 64) / 50 cos(BAC) = -14 / 50 cos(BAC) = -7 / 25

Теперь найдем угол BAC: BAC = arccos(-7 / 25)

Теперь, чтобы найти длину отрезка CP, давайте рассмотрим биссектрису угла BAC. Она разделяет угол BAC пополам, поэтому мы можем использовать тригонометрические отношения в этом прямоугольном треугольнике.

Пусть CP = x, и тогда BP = x (так как треугольник ABC равнобедренный), и мы знаем, что тангенс половины угла BAC равен отношению сторон BP и CP: tan(BAC/2) = BP / CP

Мы уже знаем значение угла BAC/2 (половины угла BAC) из предыдущего вычисления. Таким образом, мы можем записать: tan(BAC/2) = √((1 - cos(BAC)) / (1 + cos(BAC))) = √((1 + 7/25) / (1 - 7/25))

Теперь, чтобы найти CP, мы можем решить уравнение: tan(BAC/2) = BP / x

x = BP / tan(BAC/2) = x / (√((1 + 7/25) / (1 - 7/25)))

x = x / (√((32/25) / (18/25)))

x = x / (√(32/18))

x = x / (√(16/9))

x = x / (4/3)

x = (3/4) * x

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x: 1 = 3/4

Итак, x = 4/3.

Таким образом, длина отрезка CP равна 4/3, или 1.3333 (округлено до четырех знаков после запятой).