Question

Катет і гiпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 104 і 130 см. Обчисліть довжину відрізків, на які бісектриса меншого гострого кута ділить медіану, проведену до гіпотенузи трикутника.

Answer 1

Ответ:

40 см и 25 см

Объяснение:

Дано:

Прямоугольный треугольник АВС (угол С - прямой):

гипотенуза АВ = 130 см

катет ВС = 104 см

Найти:

длины отрезков, на которые биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение.

1) По теореме Пифагора найдём длину катета АС:

АС = √(АВ²-ВС²) = √(130²-104²) = √(16900-10816) = √6084= 78 см

2) В треугольнике меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это значит, что меньшим острым углом является ∠В, против которого лежит катет АС.

3) Выполним построение.

Из угла В проведём биссектрису, которая пересечет катет АС в точке Е. Из вершины прямого угла С проведём  медиану к гипотенузе АВ, и точку пересечения медианы со стороной АВ обозначим D, а точку пересечения медианы CD с биссектрисой ВЕ обозначим F.  

В принятых обозначениях необходимы найти DF и FC.

4) Теорема. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно:

DC = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см

Так как точка D является серединой АВ, согласно построению, то:

BD = АВ : 2 = 130 : 2 = 65 см

5) Теорема. Биссектриса данного угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Следовательно:

DF : FC = DB : BC                (1)

Так как DC = DF + FC = 65 cм, то

DF = DC - FC = 65-FC         (2)

Подставим (2) в (1), получим:

(65-FC) : FC = DB : BC

(65-FC) : FC = 65 : 104  

65 · 104 - 104FC = 65FC

6760 = 65FC + 104FC

169 FC = 6760

FC = 6760 : 169 = 40 см

Отсюда DF = 65-FC = 65 - 40 = 25 см

Ответ: биссектриса меньшего острого угла делит медиану, проведённую к гипотенузе, на два отрезка длиной (считая от вершины прямого угла) 40 см и 25 см.

Answer 2

Спочатку знайдемо довжину медіани, проведеної до гіпотенузи трикутника. Медіана ділить гіпотенузу на дві рівні частини, тобто вона дорівнює половині гіпотенузи. Отже, довжина медіани дорівнює 130 см / 2 = 65 см.

Тепер знайдемо довжину бісектриси меншого гострого кута. Бісектриса меншого гострого кута ділить його на два відомих відношення: 1:1. Іншими словами, бісектриса меншого гострого кута розділить відповідний катет трикутника на дві рівні частини.

Довжина меншого катета дорівнює 104 см, отже, бісектриса меншого гострого кута розділить його на дві рівні частини: 104 см / 2 = 52 см.

Тепер вам відомі довжини медіани і бісектриси меншого гострого кута. Для знаходження довжини відрізка, на який бісектриса ділить медіану, вам потрібно просто додати ці дві довжини: 65 см + 52 см = 117 см.

Отже, довжина відрізка, на який бісектриса меншого гострого кута ділить медіану, дорівнює 117 см.