Question

В трапеции ABCD (ВC||AD) M-точка пересечения диагоналей, ВМ:МD=1:3. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см. Заранее спасибо за помощь. Будет здорово, если файл будет отправлен фотографией или решение будет хорошо расписано

Answer 1

Ответ:

ВС=4 см

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция

АС ∩ BD = M; ВМ : MD = 1:3

KP=8 cм - средняя линия.

Найти: ВС

Решение:

• Трапеция - четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие - нет.

1. Рассмотрим ΔВСМ и ΔAMD.

∠1=∠2 - вертикальные

∠3=∠4 - накрест лежащие при ВС║АD и секущей ВD.

⇒ ΔВСМ ~ ΔAMD (по двум углам)

2. Запишем пропорцию:

$\displaystyle \frac{BM}{MD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$

3. Пусть ВС = х, тогда АD=3х

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

$\displaystyle KP=\frac{BC+AD}{2} \\\\8=\frac{x+3x}{2}\\\\4x=16\\x=4$

⇒ ВС=4 см

Answer 2

Для решения задачи построим соответствующую схему:

B-------------------------C / \ A-----------------------------------D

Пусть AB – основание меньшей стороны, а CD – основание большей стороны трапеции ABCD. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O.

Так как ВМ:МD = 1:3, то Vogotь прямоугольного треугольника ВOM ~ треугольнику CDM (по признаку подобия треугольников), то есть по теореме о подобии треугольников мы можем записать отношение сторон:

BM : MD = BO : OC

Поскольку точка O – точка пересечения диагоналей, то она делит их в отношении, обратном отношению сумм их смежных сторон:

BO : OC = AB : CD

Так как AC || BD, то углы ABC и BCD – соответственно противолежащие, поэтому треугольники OAB и OCD – подобные (по углам):

OA : OB = OC : OD

Объединяя все равенства, получаем:

BM : MD = AB : CD = OA : OB = OC : OD

Так как точка M – средняя линия трапеции, то BM = CD и MD = AB. Поэтому:

CD : AB = CD : AB

Следовательно, получаем уравнение:

CD = AB

Таким образом, основания трапеции равны по длине: CD = AB.

Если средняя линия трапеции равна 8 см, то согласно свойству трапеции, сумма оснований равна удвоенной длине средней линии:

AB + CD = 2 * 8см = 16см

Отсюда следует, что каждое из оснований равно половине суммы оснований:

AB = CD = 16см / 2 = 8см

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 8 см.