Question

Докажите, что если у четырехугольника диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник - прямоугольник только можно коротка пж ​

Answer 1

Возьмем четырехугольник ABCD и проведем диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. Пусть для этого четырехугольника выполнено условие "диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам"
Тогда AO=OC=¹/₂AC и BO=OD=¹/₂BD (так как O - середина AC и BD), а также AC=BD. Значит AO=OC=BO=OD.
Треугольники AOB и DOC равны, так как DO=AO, BO=OC, ∠AOB=∠DOC (как вертикальные углы при пересечении AC и BD), а кроме этого AOB и DOC - равнобедренные треугольники, а значит ∠ODC=∠OCD=∠OAB=∠OBA=α.

Так как мы показали, что все 4 угла четырехугольника ABCD прямые, то мы доказали, что ABCD - прямоугольник.

Answer 2

Четырехугольник с равными и делящимися диагоналями

Чтобы доказать, что четырехугольник с равными и делящимися диагоналями является прямоугольником, нам нужно использовать геометрические свойства и определения.

Определение прямоугольника: Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Определение диагонали: Диагональ - это отрезок, соединяющий две вершины, которые не являются соседними.

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник с равными и делящимися диагоналями. Пусть точка пересечения диагоналей будет точкой O.

Доказательство

1. Предположим, что четырехугольник ABCD имеет равные и делящиеся диагонали, и точка пересечения диагоналей находится в точке O. 2. Поскольку диагонали равны и делятся точкой O пополам, то мы можем сказать, что OA = OC и OB = OD. 3. Рассмотрим треугольники OAB и OCD. У них равны гипотенузы OA и OC, а также равны катеты AB и CD. 4. Из свойства прямоугольного треугольника мы знаем, что если гипотенуза и один катет равны в двух треугольниках, то эти треугольники равны. 5. Следовательно, треугольники OAB