Question

Докажи, что четырёхугольник является прямоугольником, найди его площадь, если (12;1), (15;2), (14;5) и (11;4). S ABCD=

Answer 1

Объяснение:

Если в четырёхугольнике три угла прямые, то это прямоугольник. Проверим этот признак.

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдём тройку скалярных произведений:

Так как скалярные произведения равны нулю, то углы A, B, D -- прямые, следовательно ABCD -- прямоугольник.

2. Sabcd = AB * BC

Найдём длины AB и BC:

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник является прямоугольником, необходимо убедиться, что углы в четырёхугольнике являются прямыми углами, то есть равны 90 градусам.

Для этого, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, где квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Если такое свойство выполняется для всех трёх пар противоположных углов четырёхугольника, то мы можем утверждать, что углы прямые.

Исходные точки (12;1), (15;2), (14;5) и (11;4) образуют вершины четырёхугольника ABCD. Давайте обозначим эти точки буквами A, B, C и D соответственно.

Сначала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя координаты точек:

1. Длина AB: AB = sqrt((15-12)^2 + (2-1)^2) = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

2. Длина BC: BC = sqrt((14-15)^2 + (5-2)^2) = sqrt((-1)^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)

3. Длина CD: CD = sqrt((11-14)^2 + (4-5)^2) = sqrt((-3)^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10)

4. Длина DA: DA = sqrt((12-11)^2 + (1-4)^2) = sqrt(1^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)

Теперь проверим, удовлетворяют ли квадраты длин сторон условию прямоугольного треугольника для трех пар сторон:

1. Для сторон AB и BC: AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20

2. Для сторон BC и CD: BC^2 + CD^2 = 10 + 10 = 20

3. Для сторон CD и DA: CD^2 + DA^2 = 10 + 10 = 20

Если все три условия выполняются, то углы прямые, и четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD. Для этого можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали прямоугольника.

Диагонали прямоугольника ABCD будут отрезками AC и BD. Найдем их длины:

1. Длина AC: AC = sqrt((14-12)^2 + (5-1)^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)

2. Длина BD: BD = sqrt((15-11)^2 + (2-4)^2) = sqrt(4^2 + (-2)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20)

Теперь подставим длины диагоналей в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{20} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \]

Итак, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна 10 квадратным единицам.