Question

В треугольнике АВС, АВ = АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведѐнную к основанию, на отрезки, больший из которых равен 6. Найдите длину этой высоты. С пояснением. 20 баллов.

Answer 1

Ответ:

9

Объяснение:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию также является медианой. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга на отрезки, которые относятся как 1:2, значит, если больший отрезок равен 6, то меньший равен 3 (6/2), а значит высота равна 6+3=9

Answer 2

Давайте обозначим точку, в которой медиана пересекает высоту, как $М$. Также, обозначим длину отрезка $МС$ как $h_1$ и отрезка $МВ$ как $h_2$.

Так как медиана делит высоту на два отрезка, причем больший из них равен 6, мы можем записать следующее уравнение:

$h_2 = 6$

Также, так как треугольник равнобедренный ($AB = AC$), медиана также является высотой, и $h_1 + h_2$ равно высоте $h$. Таким образом:

$h_1 + h_2 = h$

Теперь у нас есть два уравнения:

$h_2 = 6$ $h_1 + h_2 = h$

Мы можем подставить значение $h_2$ из первого уравнения во второе:

$h_1 + 6 = h$

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает длину отрезка $h_1$ с общей высотой $h$. Однако, чтобы решить задачу, нам нужно еще одно уравнение.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $MBC$, где $MB$ - медиана, $BC$ - половина основания (половина $AB$), $MC$ - половина высоты:

$MB^2 = MC^2 + BC^2$

Так как $AB = AC$, то $BC = \frac{1}{2}AB$, и у нас есть, что $MC$ делит $h$ пополам, то есть $MC = \frac{1}{2}h$. Подставим это в уравнение Пифагора:

$MB^2 = \left(\frac{1}{2}h\right)^2 + \left(\frac{1}{2}AB\right)^2$

Так как $AB = AC$, то $AB = AC = 2BC$, и уравнение примет вид:

$MB^2 = \left(\frac{1}{2}h\right)^2 + \left(\frac{1}{2}(2BC)\right)^2$

$MB^2 = \frac{1}{4}h^2 + BC^2$

Теперь у нас есть два уравнения:

$h_1 + 6 = h$ $MB^2 = \frac{1}{4}h^2 + BC^2$

Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения для $h$ и $h_1$.