Question

10. Докажите, что если диагональ прямоугольника лежит на биссек. трисе его угла, то он является квадратом. Помогите пожалуйста​

Answer 1

ABCD - прямоугольник.

В прямоугольнике все углы прямые.

∠A=∠B=∠C=∠D=90°

По условию AC - диагональ и биссектриса.

Биссектриса делит угол пополам.

∠BAC=∠A/2 =90°/2 =45°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов 90°.

∠BCA =90°-∠BAC =90°-45° =45°

=> ∠BAC=∠BCA =45°

Если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный.

△ABC - равнобедренный (по признаку), AB=BC

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

AB=CD, BC=AD

=> AB=BC=CD=AD

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

ABCD - квадрат (по определению).

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам потребуется использовать такие понятия как биссектриса угла, косинусы и теорему Пифагора.

Дано: прямоугольник ABCD, у которого диагональ AC лежит на биссектрисе трех его углов.

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Из условия следует, что углы ACD и ACO равны, так как AC является биссектрисой угла ACD.

Также, углы CAD и CAO равны, так как AC является биссектрисой угла CAD.

Получаем, что треугольники ACO и CAB подобны по двум углам, так как у них равны соответствующие углы.

Из подобия следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

То есть: AO/AB = AC/AC.

Сокращая AC, получаем: AO/AB = 1.

Значит, AO = AB, то есть отрезок AO равен отрезку AB.

Теперь рассмотрим треугольник ADO.

AO = AB (по доказанному)

OD = OB (так как OD является отрезком, перпендикулярным AC и BD)

OD = OB (из равенства сторон прямоугольника)

Получаем, что треугольник ADO является равнобедренным, так как у него две равные стороны.

Из равнобедренности следует, что у него два равных угла при основании AD.

Но так как у прямоугольника ABCD все углы прямые, то третий угол при основании AD также является прямым.

То есть, треугольник ADO является прямоугольным.

Теперь применим теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим эту теорему к треугольнику ADO:

AD^2 = AO^2 + OD^2.

Но AO = AB (из доказанного ранее), и OD = OB (из равенства сторон прямоугольника).

Значит, AD^2 = AB^2 + OB^2.

Так как AD, AB и OB являются сторонами прямоугольника ABCD, получаем, что:

длина AB^2 + длина OB^2 = длина AD^2.

Но так как AB = OB (из доказанного ранее), то:

длина OB^2 + длина OB^2 = длина AD^2.

Два одинаковых числа можно записать как сумму этих чисел. Получаем:

2 * длина OB^2 = длина AD^2.

Очевидно, что длина OB^2 > 0 и длина AD^2 > 0.

Значит, равенство может быть верным, только если 2 * длина OB^2 = длина AD^2.

А это возможно только в одном случае: когда длина OB^2 = длина AD^2 = 0.

Это означает, что отрезок OB имеет нулевую длину, а значит, точка O совпадает с точкой B.

Следовательно, прямоугольник ABCD является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе трех его углов, то этот прямоугольник является квадратом.