Question

На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между точками B и K). Докажите, что BM = DK. Обязательно ДАНО, ДОКАЗАТЬ и ЧЕРТЕЖ или ответ признаю не полным.

Answer 1

Объяснение:

ДАНО: АВСД – параллелограмм; ВД – диагональ; М и К ∈ ВД; ∠ВАМ=∠ДСК.

ДОКАЗАТЬ: ВМ=ДК

======================================

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: рассмотрим ∆АВМ и ∆СДК, у них:

1) АВ=СД (так как АВСД – параллелограмм, а противоположные его стороны равны;

2) ∠ВАМ=∠ДСК – по условию;

3) ∠АВМ=∠СДК – как внутренние разносторонние при параллельных ВС и АД, и секущей ВД,

следовательно ∆АВМ=∆СДК по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам), значит ВМ=ДК.

ДОКАЗАНО

Answer 2

Ответ:

2 признак равенства треугольников:

Если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

рис. см. там решение

Объяснение:

Answer 3

Для доказательства того, что bm = dk, рассмотрим треугольники ABM и DCK.

По условию, ∠BAM = ∠DCK. Из этого следует, что треугольники ABM и DCK подобны по углам.

Также, по свойствам параллелограмма, AB || CD. Это значит, что угол между AB и BM равен углу между CD и DK. Обозначим этот угол как α.

Тогда углы α и ∠BAM равны друг другу, так как это углы, соответственные. Углы α и ∠DCK также равны по условию. Значит, α = ∠BAM = ∠DCK.

Таким образом, треугольники ABM и DCK имеют два равных угла и третий угол общий, значит, они подобны в полном объеме.

По свойствам подобных треугольников, отношение любой стороны в одном треугольнике к соответствующей стороне в другом треугольнике равно отношению соответствующих сторон.

То есть, AB/BM = DC/DK.

Учитывая, что AB = DC (по свойствам параллелограмма), получаем, что BM = DK.

Таким образом, доказано, что bm = dk.