Question

Все стороны куба ABCDA1B1C1D1 равны 1, точка E - середина стороны A1B1, точка F - середина стороны B1C1 (рисунок 9.14). Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.​

Answer 1

Пусть А - начало координат.

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Вектора

АЕ ( 0,5;0;1)

ВF (0;0,5;1)

Косинус Искомого угла

| АЕ * ВF | / | AE | / | BF | =

1/ √(1/4+1) / √(1/4+1) = 4/5

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между прямыми AE и BF, нам понадобится использовать геометрические свойства куба.

Разбор задачи

Дано, что все стороны куба ABCDA1B1C1D1 равны 1. Также, точка E является серединой стороны A1B1, а точка F - серединой стороны B1C1.

Решение

Для начала, давайте нарисуем куб ABCDA1B1C1D1 и отметим точки E и F:

          A1________B1
        /  |       / |
       /___|______/  |
      D1   |     C1   |
      |    |     |   |
      |    E_____|___F
      |   /      |  /
      |  /       | /
      |/_________|/
     A           B

Теперь, обратимся к треугольнику A1BF, который образован точками A1, B1 и F. Мы можем заметить, что он является прямоугольным треугольником, так как стороны куба ABCDA1B1C1D1 являются взаимно перпендикулярными.

Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны BF. Пусть длина стороны куба равна a, тогда длина стороны BF будет равна a/2, так как точка F является серединой стороны B1C1.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник A1BF. Угол между прямыми AE и BF является углом между сторонами A1B1 и B1F. Мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти косинус этого угла.

Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью их скалярного произведения и длин векторов. В данном случае, сторона A1B1 будет вектором, проходящим через точки A1 и B1, а сторона B1F будет вектором, проходящим через точки B1 и F.

Длины векторов A1B1 и B1F можно выразить следующим образом: - Длина вектора A1B1: a (так как стороны куба ABCDA1B1C1D1 равны 1) - Длина вектора B1F: a/2 (так как точка F является серединой стороны B1C1)

Теперь, чтобы вычислить косинус угла между векторами A1B1 и B1F, мы можем использовать следующую формулу:

cos(θ) = (A1B1 * B1F) / (|A1B1| * |B1F|)

где θ - угол между прямыми AE и BF, A1B1 и B1F - векторы, |A1B1| и |B1F| - их длины.

Подставив значения, получим:

cos(θ) = (a * (a/2)) / (a * (a/2))

Упрощая выражение, получим:

cos(θ) = 1

Таким образом, косинус угла между прямыми AE и BF равен 1.