Question

Даю 50 баллов!!! Высота прямоугольной трапеции равна 4 см, меньшее основание равно 6 см, угол между большим основанием и большей боковой стороной равен 45°. Найдите длину средней линии трапеции.

Answer 1

Ответ:

8

Объяснение:

Тест прошёл

Answer 2

Для решения задачи найдем среднюю линию трапеции, используя известные данные.

Обозначим через \(AB\) большее основание трапеции, через \(CD\) — меньшее основание, через \(BC\) — большую боковую сторону, и через \(AD\) — меньшую боковую сторону.

Так как угол между большим основанием и большей боковой стороной равен \(45^\circ\), тогда треугольник \(ABC\) — прямоугольный.

Из постановки задачи известно, что высота трапеции равна 4 см, меньшее основание \(CD\) равно 6 см, а угол между \(AB\) и \(BC\) равен \(45^\circ\).

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\). По теореме синусов мы можем найти длину большей боковой стороны \(BC\):

\[ \sin(45^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

\[ \sin(45^\circ) = \frac{AD}{BC} \]

Отсюда можно выразить \(BC\):

\[ BC = \frac{AD}{\sin(45^\circ)} \]

Теперь мы можем использовать выражение для вычисления средней линии трапеции. Средняя линия трапеции — это полусумма её оснований:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} \]

Теперь найдем длину большей боковой стороны \(BC\):

\[ BC = \frac{AD}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sin(45^\circ)} \]

Известно, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\[ BC = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \]

Теперь можем вычислить среднюю линию:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} = \frac{BC + CD}{2} = \frac{4\sqrt{2} + 6}{2} = 2\sqrt{2} + 3 \]

Таким образом, длина средней линии трапеции равна \(2\sqrt{2} + 3\) см.