Question

Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду. Выяснить тип кривой и сделать чертеж. 9x^2+18x-4y^2-27=0

Answer 1

Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду. Выяснить тип кривой и сделать чертеж.

9x^2+18x-4y^2-27=0

Объяснение:

9x²+18x-4y²-27=0 ,   (9x²+18x+9)-9-4y²-27=0

9(x²+2x+1)-4y²=36   , 9(x+1)²-4y²=36

(x+1)²/4-y²/9=1 .Гипербола.

Центр в точке (-1;0), полуоси а=2 , в=3.  Найдем с=√(4+9)=√13.

Асимптоты у=±3/2*(х+1).  Фокусы (√13-1;0), (-√13-1;0).

Эксцентриситет ( ε=с/а) ε=√13/2≈1,8.

Answer 2

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала перенесем константу на противоположную сторону, чтобы уравнение было равным нулю: 9x^2 + 18x - 4y^2 - 27 = 0 -> 9x^2 + 18x - 4y^2 = 27

2. Разделим коэффициенты при x и y^2 на коэффициент при x^2 (при этом знак сохраняется): 9(x^2 + 2x) - 4y^2 = 27 -> (x^2 + 2x) / 3 - 4y^2 / 27 = 1

3. Теперь мы можем полностью привести уравнение к каноническому виду, который имеет следующий вид: (x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1

В нашем случае: (x + 1)^2 / 3^2 - (y - 0)^2 / (sqrt(27)/2)^2 = 1

Таким образом, уравнение кривой второго порядка 9x^2 + 18x - 4y^2 - 27 = 0 приведено к каноническому виду (x + 1)^2 / 3^2 - (y - 0)^2 / (sqrt(27)/2)^2 = 1.

Теперь определим тип кривой. Для этого мы рассмотрим знаки коэффициентов a^2 и b^2: a^2 = 3^2 = 9 > 0 (положительное значение) b^2 = (sqrt(27)/2)^2 > 0 (положительное значение)

Исходя из этого: - Если a^2 > b^2, то это гипербола - Если a^2 = b^2, то это парабола - Если a^2 < b^2, то это эллипс

В нашем случае a^2 > b^2, поэтому это гипербола.

Чтобы построить чертеж кривой, можно использовать полученные коэффициенты: - Координаты центра гиперболы будут (h, k) = (-1, 0). - Коэффициент a = 3 определяет горизонтальное растяжение гиперболы. - Коэффициент b = sqrt(27)/2 определяет вертикальное растяжение гиперболы.

Таким образом, гипербола будет симметрична относительно оси x, перевернута на угол 90 градусов по часовой стрелке относительно стандартной гиперболы, с центром (-1, 0) и горизонтальным растяжением. Вертикальное растяжение будет меньше горизонтального.

Чертеж гиперболы будет выглядеть примерно так: y | ------------------------------- | | | ------------------------------- x