Question

Сторони паралелограма відносяться як 1:2. Знайди сторони паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 18см і 26см.

Answer 1

Ответ:

АВ = 10 см

ВС = 20 см

Объяснение:

Стороны параллелограмма относятся как 1:2. Найди стороны параллелограмма, если его диагонали равны 18см и 26см.

Дано:

ABCD - параллелограмм.

AB:BC = 1:2

BD = 18 см, AC = 26 см.

Найти:

АВ = ?; ВС = ?

Решение:

Обозначим короткую сторону параллелограмма АВ за х. Тогда длинная сторона BC будет равна 2х.

Т.к. АС и BD - диагонали параллелограмма, =>

т. пересечения делит их пополам:

$AC \cap BD {=} O \: {= }{ >} ; \\ AO = OC = \frac{18}{2} =9; \\ BO= OD= \frac{26}{2} = 13.$

Рассмотрим ∆АОВ и ∆COВ

$S_{AOB} = \frac{1}{2}AO\cdot{h}\\ S_{COB} = \frac{1}{2}CO\cdot{h}$

Так как из одной вершины параллелограмма на диагональ можно опустить только одну высоту, AO = CO => S(∆АОВ) = S(∆COВ)

Аналогично доказывается равенство всех четырех ∆ков.

А раз площади ∆АОВ и ∆COВ равны, то можно применить формулу Герона, где приравняем площади треугольников S(∆АОВ) = S(∆COВ)

- S1(∆АОВ): AO = 13 cm, BO = 9 cm, AB = х cm

- S2(∆CОВ): BO = 9 cm, CO = 13, BC= 2х cm

Формула Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где:

для S1:

$a=9, \: b=13, \: c=x \: = > \\ p = \frac{9 + 13 + x}{2} = 11 + \frac{x}{2} , \\ p - a=11 + \frac{x}{2} - 9 =\frac{x}{2} + 2 , \\ p - b=11 + \frac{x}{2} - 13 = \frac{x}{2} - 2, \\ p - c=11+ \frac{x}{2} - x = 11 - \frac{x}{2}$

Для S2:

$a=9, \: b=13, \: c=2x \: = > \\ p = \frac{9 + 13 + 2x}{2} = 11 + {x} , \\ p - a=11 + x - 9 =x+ 2 , \\ p - b=11 + {x}- 13 = x - 2, \\ p - c=11+ {x}- 2x = 11 - {x}$

Т.к. S1 = S2 то

$\sqrt{(11 + \tfrac{x}{2}) ( \tfrac{x}{2}) + 2)( \tfrac{x}{2} - 2)(11 - \tfrac{x}{2})} = \\ = \sqrt{(11 + x)(x + 2)(x - 2)(11 - x)}$

Т.к. длины сторон не могут быть отрицательными, равенство корней обозначает и равенство подкоренных выражений: (заметим формулу разности кважратов)

${(11 + \tfrac{x}{2}) ( \tfrac{x}{2} + 2)( \tfrac{x}{2} - 2)(11 - \tfrac{x}{2})} = \\ = {(11 + x)(x + 2)(x - 2)(11 - x)} \\ \\ {(11 + \tfrac{x}{2})(11 - \tfrac{x}{2}) ( \tfrac{x}{2}+ 2)( \tfrac{x}{2} - 2)} = \\ = {(11 + x)(11 - x)(x + 2)(x - 2)} \\ \small(121 {- } \frac{ {x}^{2} }{4} )( \frac{ {x}^{2} }{4} - 4 ) = (121{ -} {x}^{2} )( {x}^{2} { -} 4)$

После преобразования сделаем замену:

$y = \frac{ {x}^{2} }{4} < = > {x}^{2} = 4y$

$\small(121 {- } y )( y{ -} {4} ) = (121{ -} 4y )( 4y { -} 4) \\ \small 121y{ -} {y}^{2} { +} 4y{ -} \cancel{ 484} = 484y{ -} 16 {y}^{2} { + }16y{ -} \cancel{ 484} \\ 125y - {y}^{2} = 500y - 16 {y}^{2} \\ 16 {y}^{2} - {y}^{2} + 125y - 500y = 0 \\ 15 {y}^{2} - 375y = 0 \: \: \: \: \bigg| \: ^{375 = 15 \times 25} \\ 15y(y - 25) = 0 \\ \left[ \: \large{^{y = 0} _{y = 25} } \right.$

Получили 2 варианта решения

Рассмотрим первый вариант

$\frac{ {x}^{2} }{4} = 0 < = > x = 0 \: = > x \in \cancel o$

Т.к. длина стороны > 0, => х=0 не подходит.

Второй вариант:

$\frac{ {x}^{2} }{4} = 25 < = > {x}^{2} = 1 00 \\ x_1=10; \: \: \: \cancel{x_2=-10 }$

Т.к. длина стороны должна быть положительным числом, => х=-10 не подходит.

Следовательно, единственный подходящий вариант: х = 10

А значит

Ответ:

АВ = х = 10 см

ВС = 2х = 20 см

Answer 2

Відповідь:

10, 20

Пояснення:

Нехай а та b сторони паралелограма і b=2a

2(a²+b²)=d1²+d2²

2(a²+4a²)=324+676

10a²=1000

a²=100

a=10, b=20

Answer 3

Для вирішення цієї задачі, ми можемо скористатися властивостями паралелограма та використати формулу для обчислення сторін паралелограма на основі довжин його діагоналей.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони паралелограма рівні за довжиною. 2. Протилежні кути паралелограма рівні за міру.

Обчислення сторін паралелограма

Нехай a і b - сторони паралелограма, а d1 і d2 - його діагоналі. За властивостями паралелограма, ми можемо записати такі рівності:

1. a = d1 2. b = d2

За умовою задачі, діагоналі паралелограма дорівнюють 18 см і 26 см. Тому:

1. a = 18 см 2. b = 26 см

Отже, сторони паралелограма дорівнюють 18 см і 26 см.

Відповідь: Сторони паралелограма дорівнюють 18 см і 26 см.