Question

Известно, что биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Answer 1

Дано : ΔАВС.

BD — биссектриса и высота ΔАВС (BD⊥AC).

Доказать : ΔABC — равнобедренный.

Доказательство :

Биссектриса треугольника — это отрезок, делящий угол треугольника на два равных угла. Поэтому ∠ABD = ∠CBD (так как BD — биссектриса ΔАВС по условию).

Так как BD⊥AC (по условию), то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Рассмотрим ΔADB и ΔCDB.

BD — их общая сторона, ∠ABD = ∠CBD (по выше сказанному), ∠ADB = ∠CDB (по выше сказанному) ⇒ ΔADB = ΔCDB по стороне и двум прилежащим к ней углам (Ⅱ признак равенства треугольников).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. ∠ADB = ∠CDB ⇒ АВ = СВ.

Вернёмся к ΔАВС. Если у треугольника равны две стороны, то он — равнобедренный. Так как АВ = СВ (по выше сказанному), то ΔАВС — равнобедренный.

Ответ : что требовалось доказать.

Answer 2

Вы хотите, чтобы я доказал, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. Я могу использовать информацию из результатов поиска в интернете, чтобы помочь вам с этим. Вот один из способов доказательства:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором CD — биссектриса и высота угла C. Тогда по определению биссектрисы углы ACD и BCD равны. Также по определению высоты углы ADC и BDC прямые. Следовательно, у треугольников ADC и BDC есть две пары равных углов. Кроме того, сторона CD общая для этих треугольников. Значит, по признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) получаем, что ∆ADC = ∆BDC. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = BC. Таким образом, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

Это доказательство можно найти на сайте [2]. Там же есть иллюстрация к этой задаче. Надеюсь, это поможет вам понять решение.