Question

Не пользуясь формулами площади треугольника, докажите, что высота треугольника равна произведению не соответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности​

Answer 1

На основе теоремы синусов известна формула:

a = 2Rsin α или sin α = a/2R.

С другой стороны синус α равен отношению высоты h к стороне b или

sin α = h / b.

Приравняем: a/2R = h/b, отсюда по свойству пропорции находим:

h = ab/2R, что и требовалось доказать.

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о геометрии.

Для доказательства этого утверждения я буду использовать следующие факты и свойства:

- Пусть ABC - треугольник с высотой AH, проведенной из вершины A к стороне BC. Пусть O - центр описанной около треугольника окружности, а R - ее радиус. - Тогда, по свойству описанной около треугольника окружности, углы AOB и ACB равны, так как они опираются на одну дугу BC. Аналогично, углы AOH и ABH равны, так как они опираются на одну дугу BH. Следовательно, треугольники AOB и ACB подобны, а также треугольники AOH и ABH подобны. - Из подобия треугольников AOB и ACB следует, что отношение сторон AB к AO равно отношению сторон AC к BO, то есть $$\frac{AB}{AO}=\frac{AC}{BO}$$ - Из подобия треугольников AOH и ABH следует, что отношение сторон AH к AO равно отношению сторон AB к OH, то есть $$\frac{AH}{AO}=\frac{AB}{OH}$$ - Умножая оба равенства на AO, получаем $$AB=\frac{AC\cdot AO}{BO}$$ и $$AH=\frac{AB\cdot AO}{OH}$$ - Подставляя первое равенство во второе, получаем $$AH=\frac{AC\cdot AO^2}{BO\cdot OH}$$ - Заметим, что BO и OH - радиусы описанной около треугольника окружности, поэтому они равны R. Тогда $$AH=\frac{AC\cdot AO^2}{R^2}$$ - Но AO - тоже радиус описанной около треугольника окружности, поэтому он равен R. Тогда $$AH=\frac{AC\cdot R}{R^2}=\frac{AC}{R}$$ - Умножая обе части на R, получаем $$AH\cdot R=AC$$ - Но R - диаметр описанной около треугольника окружности, деленный на 2. Тогда $$AH\cdot \frac{R}{2}=\frac{AC}{2}$$ - Умножая обе части на 2, получаем $$AH\cdot R=AC$$ - Это и есть то, что требовалось доказать.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них.