Question

Розв'яжіть нерівність -x² +x+2<0

Answer 1

Ответ:

x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞)

Объяснение:

y = –x² + x + 2 – парабола, ветви вниз, принимает отрицательные значения слева от меньшего корня и справа от большего

Корни:

–x² + x + 2 = 0

D = 1 + 4·2 = 9 = 3²

x₁ = (–1 – 3) / (–2) = 2

x₂ = (–1 + 3) / (–2) = –1

Answer 2

Щоб розв'язати дану нерівність -x² + x + 2 < 0, ми можемо скористатися графічним методом або методом зміни знаків. Я поясню обидва методи.

Графічний метод:

1. Побудуйте графік функції y = -x² + x + 2. 2. Знайдіть точки перетину графіка з осію Ox, де y = 0. 3. Визначте інтервали, на яких графік функції знаходиться нижче осі Ox (де y < 0). 4. Визначте, в якому інтервалі знаходяться розв'язки нерівності -x² + x + 2 < 0.

Метод зміни знаків:

1. Знайдіть корені квадратного рівняння -x² + x + 2 = 0. 2. Визначте знак функції -x² + x + 2 на кожному інтервалі між коренями. 3. З'ясуйте, в якому інтервалі знаходяться роз'язки нерівності -x² + x + 2 < 0.

Давайте спробуємо розв'язати нерівність за допомогою методу зміни знаків.

Метод зміни знаків:

1. Знайдемо корені квадратного рівняння -x² + x + 2 = 0. Використаємо квадратне рівняння: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), де a = -1, b = 1, c = 2. Підставимо ці значення в формулу: x = (-1 ± √(1 - 4(-1)(2))) / (2(-1)) x = (-1 ± √(1 + 8)) / (-2) x = (-1 ± √9) / (-2) x = (-1 ± 3) / (-2) x₁ = (-1 + 3) / (-2) = 2 / (-2) = -1 x₂ = (-1 - 3) / (-2) = -4 / (-2) = 2

Отже, ми отримали два корені: x₁ = -1 і x₂ = 2.

2. Визначимо знак функції -x² + x + 2 на інтервалах (-∞, -1), (-1, 2) і (2, +∞). Виберемо точку з кожного інтервалу і підставимо її в нерівність -x² + x + 2 < 0, щоб визначити знак функції.

- Для інтервалу (-∞, -1), виберемо x = -2: -(-2)² + (-2) + 2 = -4 - 2 + 2 = -4 Отже, функція -x² + x + 2 < 0 на цьому інтервалі.

- Для інтервалу (-1, 2), виберемо x = 0: -(0)² + (0) + 2 = 2 Отже, функція -x² + x + 2 > 0 на цьому інтервалі.

- Для інтервалу (2, +∞), виберемо x = 3: -(3)² + (3) + 2 = -4 + 3 + 2 = 1 Отже, функція -x² + x + 2 > 0 на цьому інтервалі.

3. З'ясуємо, в якому інтервалі знаходяться розв'язки нерівності -x² + x + 2 < 0. Знаходяться вони на інтервалі (-∞, -1).

Отже, розв'язком нерівності -x² + x + 2 < 0 є x з інтервалу (-∞, -1).