Question

Точка М удалена на 15 см от всех вершин верного треугольника АВС. Найдите площадь этого треугольника, если расстояние от точки М до плоскости треугольника 9 см.​

Answer 1

Ответ:
S(∆ABC)=108√3см²

Решение:
∆МОС- прямоугольный треугольник
По теореме Пифагора
ОС=√(МС²-МО²)=√(15²-9²)=
=√(225-81)=√144=12см.
ОС=R, радиус описанной окружности.
R=AB/√3
AB=R*√3=OC*√3=12√3 см.
S(∆ABC)=AB²√3/4=(12√3)²√3/4=
=108√3см²

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора и формулу Герона.

Шаг 1: Найти длину стороны треугольника

Поскольку точка М удалена на 15 см от каждой вершины треугольника, мы можем провести от точки М перпендикуляры на каждую из сторон треугольника. Пусть эти перпендикуляры пересекают стороны треугольника в точках D, E и F, соответственно.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины стороны треугольника. Поскольку треугольник АВС является правильным, все его стороны равны.

Пусть сторона треугольника равна а. Тогда длина отрезка МD равна (а - 15) см.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

(а - 15)^2 + (а/2)^2 = а^2

Раскрыв скобки и упростив, мы получим:

а^2 - 30а + 225 + а^2/4 = а^2

Упрощая уравнение, мы получаем:

4а^2 - 120а + 900 = 4а^2

Убирая одинаковые слагаемые с обеих сторон уравнения, мы получаем:

120а = 900

Разделив обе части уравнения на 120, мы найдем:

а = 7.5

Таким образом, длина каждой стороны треугольника равна 7.5 см.

Шаг 2: Найти площадь треугольника

Теперь, когда у нас есть длина стороны треугольника, мы можем использовать формулу Герона для вычисления его площади.

Формула Герона выглядит следующим образом:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))

где S - площадь треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле:

p = (a + b + c)/2

В нашем случае, все стороны треугольника равны 7.5 см. Поэтому, подставляя значения в формулу, мы получим:

p = (7.5 + 7.5 + 7.5)/2 = 11.25

Теперь, используя формулу Герона, мы можем вычислить площадь треугольника:

S = sqrt(11.25(11.25 - 7.5)(11.25 - 7.5)(11.25 - 7.5))

Вычисляя это выражение, мы получаем:

S ≈ 24.01 см^2

Таким образом, площадь треугольника составляет около 24.01 квадратных сантиметра.