Question

В параллелограмме с диагоналями 23 и 11 известна сторона - 15. Найдите : 1. другую сторону параллелограмма 2. площадь параллелограмма 3. высоты параллелограмма

Answer 1

Ответ:

1) BC = 10 см; 2) S(ABCD) = 24√21 см^2;

3) BM = 2,4√21 см; DN = 1,6√21 см.

Объяснение:

Смотрите рисунок. Параллелограмм ABCD.

Диагонали AC = 23 см, BD = 11 см. Сторона AB = CD = 15 см.

Найти:

1) Другую сторону BC = AD.

2) Площадь параллелограмма S(ABCD).

3) Высоты параллелограмма BM и DN.

Решение:

1) Есть такое свойство диагоналей параллелограмма:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)

Отсюда:

BC^2 = (AC^2 + BD^2)/2 - AB^2 = (23^2 + 11^2)/2 - 15^2

BC^2 = (529 + 121)/2 - 225 = 650/2 - 225 = 325 - 225 = 100

BC = AD = √100 = 10 см.

2) Площадь параллелограмма ABCD в 2 раза больше площади треугольника ABD. А его можно найти по формуле Герона:

P(ABD) = AB + AD + BD = 15 + 10 + 11 = 36 см

p = P(ABD)/2 = 36/2 = 18 см.

$S(ABD)=\sqrt{p(p-AB)(p-BD)(p-AD)} =\sqrt{18(18-15)(18-11)(18-10)}=$$=\sqrt{18*3*7*8}=\sqrt{9*2*8*21}=3*4\sqrt{21}=12\sqrt{21}$ см^2

S(ABCD) = 2*S(ABD) = 2*12√21 = 24√21 см^2

3) С другой стороны, площадь параллелограмма можно найти так:

S(ABCD) = AB*DN = AD*BM

Отсюда высоты параллелограмма:

BM = S(ABCD)/AD = 24√21/10 = 2,4√21 см.

DN = S(ABCD)/AB = 24√21/15 = 1,6√21 см.

Answer 2

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами параллелограмма.

1. Другая сторона параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны. Таким образом, если одна сторона равна 15, то другая сторона также равна 15.

2. Площадь параллелограмма: Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: Площадь = основание × высота. В данном случае, одна из диагоналей (23) является основанием, а другая диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника, высотой которых является расстояние между диагоналями. Для нахождения высоты, воспользуемся теоремой Пифагора.

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - половины диагоналей, а c - сторона параллелограмма.

Половина диагонали 23 равна 23/2 = 11.5, а половина диагонали 11 равна 11/2 = 5.5. Теперь подставим значения в уравнение Пифагора:

(11.5)^2 + (5.5)^2 = c^2, 132.25 + 30.25 = c^2, 162.5 = c^2, c = √162.5 ≈ 12.74.

Таким образом, другая сторона параллелограмма ≈ 12.74.

Теперь можно вычислить площадь параллелограмма:

Площадь = основание × высота = 23 × 12.74 ≈ 293.02.

3. Высоты параллелограмма: У параллелограмма высота — это расстояние между противоположными сторонами. Таким образом, высоты параллелограмма равны 15 и 12.74.