Question

Отрезки AB и A1B1 имеют общую середину О. Докажите, что: а) отрезки АA1 и BB1 равны (10 баллов); б) точки K и K1 – середины отрезков A1А и B1B соответственно лежат на одной прямой, проходящей через точку О (15 баллов).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) отрезки АA1 и BB1 равны т.к по теоремам паралельных прямых

   а)  угол А1 = В1 (Накрест лежайщие)

2)

   

Answer 2

Для доказательства данных утверждений воспользуемся геометрическими свойствами отрезков и середин.

Доказательство а)

Для начала, рассмотрим отрезок AB с серединой O и отрезок A1B1, также имеющий общую середину O. По определению, середина отрезка - это точка, делящая отрезок на две равные части.

Таким образом, мы имеем:

1. AO = OB (по определению середины отрезка AB) 2. A1O = O1B1 (по определению середины отрезка A1B1)

Теперь введем точку M - середину отрезка A1B1. Тогда по определению середины отрезка A1B1, AM = MB.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AOM и треугольник B1OM. Из свойства равных по длине сторон треугольника следует, что:

3. AO = OB = AM = MB

Из этих равенств следует, что отрезки AA1 и BB1 равны.

Доказательство б)

Теперь рассмотрим точки K и K1, которые являются серединами отрезков A1A и B1B соответственно. Поскольку A1O = OB1 (по определению середины отрезков A1B1 и AB), то K и K1 лежат на прямой, проходящей через точку O.

Таким образом, мы доказали оба утверждения.

Итог: Отрезки AA1 и BB1 равны, и точки K и K1 лежат на одной прямой, проходящей через точку О.