Question

Знайдіть косинуси кутів a трикутника abc якщо a(-1; 2) b(3; 7) c(2; -1)

Answer 1

Даны вершины треугольника A(-1; 2), B(3; 7), C(2; -1).

Вектор AВ = ((3-(-1)); (7-2)) = (4; 5). Модуль равен √(16 + 25) = √41.

Вектор AС = ((2-(-1)); (-1-2)) = (3; -3). Модуль равен √(9 + 9) = √18 = 3√2.

cos A = (4*3 + 5*(-3))/(√41*3√2) = -3/(3√82)= -1/√82 ≈ -0,11043.    

Угол А = arccos(-0,11043) = 96,34019°.

Вектор ВA = -AB = (-4; -5). Модуль равен √(16 + 25) = √41.

Вектор BС = ((2-3); (-1-7)) = (-1; -8). Модуль равен √(1 + 64) = √65.

cos B = (-4*(-1) + (-5)*(-8))/( √41*√65) = 44/√2665 ≈ 0,852323.

Угол B = arccos(0,852323) = 31,53479°.

Вектор СВ = -BC = (1; 8). Модуль равен √(1 + 64) = √65.

Вектор СА = -AC = (-3; 3). Модуль равен √(9 + 9) = √18 = 3√2.

cos C = (1*(-3) + 8*3))/( √13*3√2) = 21/3√26 =7/√26  ≈ 0,613941.

Угол C = arccos(0,613941) = 52,12502°.

Answer 2

Щоб знайти косинус кутів трикутника ABC, ми можемо використати формулу косинусів (закон косинусів), яка говорить, що квадрат довжини однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін, зменшених на подвоєний добуток цих сторін на косинус відповідного кута.

У нашому випадку, ми маємо три точки A(-1, 2), B(3, 7) і C(2, -1). Спочатку ми можемо визначити довжини сторін трикутника ABC, використовуючи формулу відстані між двома точками в просторі:

Довжина сторони AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2) = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41

Довжина сторони BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((2 - 3)^2 + (-1 - 7)^2) = √((-1)^2 + (-8)^2) = √(1 + 64) = √65

Довжина сторони AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2) = √((-3)^2 + (3)^2) = √(9 + 9) = √18

Тепер ми можемо застосувати формулу косинусів для кожного кута трикутника:

Косинус кута A: cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC) = (65 + 18 - 41) / (2 * √65 * √18) = 42 / (2 * √65 * √18) = 42 / (2 * √(65 * 18)) = 42 / (2 * √1170) = 42 / (2 * 34.20526275297414) ≈ 0.6172

Косинус кута B: cos(B) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB) = (18 + 41 - 65) / (2 * √18 * √41) = -6 / (2 * √18 * √41) = -6 / (2 * √(18 * 41)) = -6 / (2 * √738) = -6 / (2 * 27.129317591243414) ≈ -0.044

Косинус кута C: cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) = (41 + 65 - 18) / (2 * √41 * √65) = 88 / (2 * √41 * √65) = 88 / (2 * √(41 * 65)) = 88 / (2 * √2665) = 88 / (2 * 51.618057009313406) ≈ 0.852

Отже, косинуси кутів трикутника ABC дорівнюють: cos(A) ≈ 0.6172 cos(B) ≈ -0.044 cos(C) ≈ 0.852