Question

В трапеции АВСD углы А и В прямые. Диагональ АС биссектриса угла А и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если угол СDA равен 60°

Answer 1

Ответ:

Площадь трапеции АВСD равна

$8+\dfrac{4\sqrt{3} }{3}$  см²

Объяснение:

В трапеции АВСD углы А и В прямые. Основание ВС║АD. Диагональ АС - биссектриса угла А и АС=4 см. ∠СDA=60°. Найдите площадь трапеции.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}*CH$

Проведем высоту трапеции СН.

АВСН - прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН (∠Н=90°).

Так как диагональ АС - биссектриса прямого угла А, то ∠САН=45°.

∠АСН=90°-∠САН=90°-45°=45° - так как сумма острых углов треугольника равна 90°.

Следовательно ΔАСН - равнобедренный, с основанием АС.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: АН=СН.

Значит прямоугольник АВСН является квадратом с диагональю АС.

• Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на корень из двух

Найдём сторону квадрата:

$AH=\dfrac{d\sqrt{2} }{2} =\dfrac{AC*\sqrt{2} }{2} =\dfrac{4\sqrt{2} }{2} =2\sqrt{2}$  cм

ВС=СН=АН=2√2 см - как стороны квадрата.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (∠H=90°)

• Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$tg\angle CDA=\dfrac{CH}{HD} \\\\tg 60^\circ = \dfrac{2\sqrt{2} }{HD} \\\\HD=\dfrac{2\sqrt{2} }{\sqrt{3} } = \dfrac{2\sqrt{6} }{3}$ см

Основание AD = AH+HD = 2√2 + 2√6/3 cм

Площадь АВСD :

$S = \dfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2} +\frac{2\sqrt{6} }{3} }{2} *2\sqrt{2} =\\\\\\=(4\sqrt{2} +\dfrac{2\sqrt{6} }{3}) *\sqrt{2} = 4*2+\dfrac{2\sqrt{12} }{3} =8+\dfrac{4\sqrt{3} }{3}$  cм²

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрисы и треугольника.

Поскольку диагональ АС является биссектрисой угла А, она делит угол САВ на два равных угла. Таким образом, угол САD равен 90°/2 = 45°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник АСD. У нас есть два известных угла: СДА = 60° и АCD = 45°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол САD равен 180° - 60° - 45° = 75°.

Мы знаем, что углы А и В прямые, поэтому АВ || СD. Таким образом, трапеция АВСD - прямоугольная.

Чтобы найти площадь трапеции, мы можем использовать формулу: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота.

В нашем случае основания трапеции - это стороны АВ и СD. Так как углы А и В прямые, то стороны АВ и CD равны.

Теперь рассмотрим треугольник САD. У нас есть сторона АС, равная 4 см, угол САD, равный 75°, и угол АCD, равный 45°. Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти сторону CD:

CD / sin(75°) = 4 см / sin(45°).

CD = 4 см * sin(75°) / sin(45°).

Теперь мы знаем длину основания трапеции CD. Обозначим ее как a.

Так как трапеция АВСD прямоугольная, то сторона АВ равна стороне CD, то есть b = a.

Для высоты h трапеции мы можем использовать сторону AD треугольника САD, так как она перпендикулярна основаниям трапеции.

Таким образом, S = (a + a) * AD / 2.

Нам осталось найти длину стороны AD.

Мы можем рассмотреть треугольник АCD. У нас есть два известных угла: АCD = 45° и СAD = 180° - 45° - 90° = 45°. Так как угол А и угол В прямые, то сторона АС является гипотенузой прямоугольного треугольника АCD