Question

1. Діагоналі ромба 60 см і 80 см. В точці перетину діагоналей до площини ромба проведено перпендикуляр довжиною 45 см. Знайти відстань від кінців перпендикуляра до сторони ромба. 2. Точка М рівновiддалена від всіх вершин рівностороннього трикутника зі стороною 8 дм і знаходиться на відстані 10 см від площини рикутника. Знайти відстань від точки М до сторони трикутника.​

Answer 1

Ответ:Позначимо ромб ABCD, де AC і BD - діагоналі, які перетинаються в точці О. ОД = 60/2 = 30 см, ОВ = 80/2 = 40 см. Нехай ЕF - перпендикуляр, опущений з точки О на сторону ромба AB. Позначимо довжину перпендикуляра як h = 45 см. Треба знайти відстань від кінців перпендикуляра до сторони ромба.

<img src="https://i.imgur.com/tGqzX8K.png" width="200">

Оскільки ОЕ = ОФ = h/√2, то точки Е і F ділять сторону AB на три частини у відношенні 1:√2:1. Тоді:

AE = AB/3, BE = AB(√2 - 1)/2, BF = AB(√2 + 1)/2 і AF = 2AB/3.

За теоремою Піфагора в трикутниках АЕО та ВФО:

OE² = AE² + AO² = (AB/3)² + 30²,

OF² = BF² + BO² = (AB(√2 + 1)/2)² + 40².

Тоді відстань від точок Е і F до сторони ромба можна знайти за формулою для площі трикутника S:

S = 1/2 * h * (AE + BF) = 1/2 * h * (AB/3 + AB(√2 + 1)/2) = AB² * h/6 * (√2 + 3).

Отже, відстань від кінців перпендикуляру до сторони ромба дорівнює:

d = S/AB = h/6 * (√2 + 3) ≈ 10,6 см.

Позначимо рівносторонній трикутник ABC і точку М, яка рівновіддалена від всіх вершин трикутника і знаходиться на відстані 10 см від площини трикутника. Нехай МН - перпендикуляр, опущений з точки М на сторону АВ трикутника. Треба знайти відстань від точки М до сторони АВ.

<img src="https://i.imgur.com/ZKjySTf.png" width="200">

За властивостями рівностороннього трикутника, точка М знаходиться на перпендикулярі, опущеному з вершини С

Объяснение:

Answer 2

Відстань від кожного кінця перпендикуляра до сторони ромба дорівнює 36 см.

Відстань від точки М до сторони рівностороннього трикутника дорівнює 4 см.

Answer 3

1. Діагоналі ромба ділять його на чотири рівні трикутники. Оскільки ромб - це рівнобічний чотирикутник, кожний з цих трикутників є рівнобедреним.

За теоремою Піфагора в рівнобедреному трикутнику квадрат довжини одного з основи дорівнює сумі квадратів довжини кожної зі сторін, що йдуть до вершини:

$c^2 = a^2 + b^2$,

де $c$ - основа трикутника (одна зі сторін, що йдуть до вершини), $a$ і $b$ - інші дві сторони.

У нашому випадку, діагоналі ромба є основами рівнобедрених трикутників, тому можемо записати:

$60^2 = a^2 + (45/2)^2$, $80^2 = b^2 + (45/2)^2$.

Розв'язавши цю систему рівнянь, знайдемо значення $a$ і $b$.

$a = \sqrt{60^2 - (45/2)^2}$, $b = \sqrt{80^2 - (45/2)^2}$.

Знайдені значення $a$ і $b$ будуть становити відстані від точки перетину діагоналей до сторін ромба.

2. Зауважимо, що точка М рівновіддалена від всіх вершин рівностороннього трикутника. Отже, вона знаходиться в центрі цього трикутника, який є центром описаного кола. Відстань від точки М до сторони трикутника є радіусом цього описаного кола.

Радіус описаного кола рівностороннього трикутника можна обчислити за формулою:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$,

де $a$ - довжина сторони трикутника.

В нашому випадку $a = 8\, \text{дм}$. Підставимо значення в формулу:

$R = \frac{8}{\sqrt{3}}$.

Таким чином, відстань від точки М до сторони трикутника становить $\frac{8}{\sqrt{3}}$.