Question

11. В пятиугольнике ABCDE K - середина AB ; L - середина BC ; M - середина СD ; N - середина DE ; P - середина KM ; Q - середина LN. Докажите , что PQ║AE и PQ = 1/4AE

Answer 1

Ответ:

Доказано требуемое.

Объяснение:

Пусть

             $A(x_1,y_1);\ B(x_2.y_2);\ C(x_3,y_3);\ D(x_4,y_4);\ E(x_5,y_5)\Rightarrow$

    $K(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2});\ L(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2});\ M(\frac{x_3+x_4}{2},\frac{y_3+y_4}{2});\ N(\frac{x_4+x_5}{2},\frac{y_4+y_5}{2});$

           $P(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4});\ Q(\frac{x_2+x_3+x_4+x_5}{4},\frac{y_2+y_3+y_4+y_5}{4})\Rightarrow$

             $\bar{PQ}=\left\{\dfrac{x_5-x_1}{4},\dfrac{y_5-y_1}{4}\right\}=\dfrac{1}{4}\{x_5-x_1,y_5-y_1\}=\dfrac{1}{4}\bar{AE}.$

Итак, вектор $\bar{PQ}$ равен четверти вектора $\bar{AE},$что означает что эти векторы параллельны и длина вектора $\bar{PQ}$ равна четверти длины вектора $\bar{AE}.$

Answer 2

Для доказательства, что PQ || AE и PQ = 1/4 * AE, мы можем использовать метод векторов.

Обозначим векторы следующим образом: $\overrightarrow{A}$ - вектор A, $\overrightarrow{B}$ - вектор B, $\overrightarrow{C}$ - вектор C, $\overrightarrow{D}$ - вектор D, $\overrightarrow{E}$ - вектор E, $\overrightarrow{K}$ - вектор K, $\overrightarrow{L}$ - вектор L, $\overrightarrow{M}$ - вектор M, $\overrightarrow{N}$ - вектор N, $\overrightarrow{P}$ - вектор P, $\overrightarrow{Q}$ - вектор Q.

Поскольку K - середина AB, мы можем записать: $\overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}$.

Аналогично, для L, M и N: $\overrightarrow{L} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$, $\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}$, $\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{E}}{2}$.

Теперь мы можем найти векторы $\overrightarrow{P}$ и $\overrightarrow{Q}$: $\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{K} + \overrightarrow{M}}{2} = \frac{\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} + \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{4}$, $\overrightarrow{Q} = \frac{\overrightarrow{L} + \overrightarrow{N}}{2} = \frac{\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} + \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{E}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} + \overrightarrow{E}}{4}$