Question

Биссектриса BD треугольника ABC равна 6 и делит сторону AC га отрезки AD=3 и DC=4. в треугольники ABC и CBD вписаны окружности, они косаются стороны АС в точках К и М. Нати длину отрезка КМ.

Answer 1

Используем формулу длины биссектрисы:
$L= \sqrt{AB*BC-AD*DC}$.
Обозначим АВ=с, ВС=а.
Возведём в квадрат:
$L^2=a*c-3*4$
Отсюда а*с=36+12=48         (1).
Биссектриса делит сторону АС пропорционально боковым сторонам.
3/с = 4/а
или с = (3/4)*а.
Подставим в уравнение (1):
а*((3/4)*а) = 48
а² =(48*4) / 3 = 64
а = √64 = 8.
с = (3*8) / 4 =6.
Находим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:
$r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } = \sqrt{ \frac{(10.5-8)(10.5-7)(10.5-6)}{10.5} } =1,936492.$
Аналогично находим радиус окружности, вписанной в треугольник 
ДВС: r₁=1,290994.
Разность r - r₁ = 0,645498.
По теореме косинусов находим величину угла С:
$C=arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =arccos \frac{8^2+7^2-6^2}{2*8*7} =arccos 0,6875$.
С =  0.812756 радиан = 46.56746°.
Центры окружностей с радиусами r и r₁ лежат на биссектрисе угла С.
Тангенс угла С/2 = tg(46.56746 / 2) = tg  23.28373° = 0,43033.
Тогда длина отрезка КМ равна:
КМ = (r-r₁) / tg(C/2) = 0,645498 / 0,43033 = 1,5.