Question

При каких значениях угла треугольника квадрат стороны, лежащей против этого угла: а) меньше суммы квадратов двух других сторон; б) равен сумме квадратов двух других сторон; в) больше суммы квадратов двух других сторон?​

Answer 1

Ответ:

а) 0° < ∠BAC < 90°

б) ∠BAC = 90°

в) 90° < ∠BAC < 180°

Объяснение:

По теореме косинусов:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 * AB * AC * \cos\angle BAC$

а) Если угол 0° < ∠BAC < 90°, то от выражению $AB^{2} + BC^{2}$ мы отнимаем $2 * AB * AC * \cos\angle BAC$ так как косинус больше нуля.

б) $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ при $2 * AB * AC * \cos\angle BAC = 0$, то есть при $\cos\angle BAC = 0 \Longrightarrow \angle BAC = 90^{\circ}$.

в) Если угол 90° < ∠BAC < 180°, то к выражению $AB^{2} + BC^{2}$ мы прибавляем $2 * AB * AC * \cos\angle BAC$ так как косинус меньше нуля.

Answer 2

Для понимания данного вопроса важно знать неравенство треугольника, которое утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Обозначим стороны треугольника как a, b и c, а угол противоположный стороне c как θ.

а) Чтобы сумма квадратов двух других сторон была больше квадрата стороны c, должно выполняться неравенство:

a^2 + b^2 > c^2

б) Чтобы сумма квадратов двух других сторон была равна квадрату стороны c, должно выполняться равенство:

a^2 + b^2 = c^2

в) Чтобы сумма квадратов двух других сторон была меньше квадрата стороны c, должно выполняться неравенство:

a^2 + b^2 < c^2

Таким образом, значения угла треугольника не влияют на эти неравенства. Неравенство треугольника справедливо независимо от значения угла.