Question

Как доказать. что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции?

Answer 1

КН - средняя линия трапеции ABCD.
КН║ВС║AD.
Рассмотрим треугольник АВС.
К - середина АВ и КЕ║ВС, значит КЕ - средняя линия треугольника по признаку, значит
Е - середина АС.
Для другой диагонали доказывается аналогично.

Answer 2

Для доказательства того, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Пусть ABCD - трапеция, где AB || CD и AD ≠ BC. Пусть M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно, и P - точка пересечения средней линии трапеции и диагоналей.

1. Обозначим точку пересечения средней линии и диагонали AC как X.
2. Рассмотрим треугольник AXD. Поскольку M - середина диагонали AC, то по свойству серединного перпендикуляра AM является медианой треугольника AXD, а значит, делит его пополам.
3. Аналогично, рассмотрим треугольник BXC. Поскольку N - середина диагонали BD, то по свойству серединного перпендикуляра BN является медианой треугольника BXC, и делит его пополам.
4. Из шагов 2 и 3 следует, что AM = MX и BN = NX.
5. Теперь рассмотрим треугольник AMN. Поскольку M и N - середины диагоналей, то AM = MX и BN = NX.
6. Таким образом, по свойству серединного перпендикуляра MN является медианой треугольника AMN, и делит его пополам.
7. Следовательно, точка P, являющаяся точкой пересечения средней линии и диагонали AC, также является точкой пересечения средней линии и диагонали BD.
8. Значит, средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции.