Question

Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость альфа. Основание BC не лежит в плоскости альфа . Докажите,что прямая,проходящая через середины сторон AB и BC , паралелльна плоскости альфа

Answer 1

Прямая, соединяющая середины сторон АВ и ВС является средней линией трапеции, следовательно параллельна основанию AD. Поскольку AD принадлежит плоскости, то средняя линия трапеции будет также параллельна и плоскости, которой принадлежит основание.

Answer 2

Для доказательства, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельна плоскости альфа, воспользуемся свойством трапеции.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC рассмотрим прямую, проходящую через середины сторон AB и BC, и обозначим точку их пересечения как M.

Так как M - середина стороны AB, то AM = MB. Аналогично, так как M - середина стороны BC, то BM = MC.

Рассмотрим плоскость, параллельную плоскости альфа и проходящую через точку M. Обозначим эту плоскость как бета.

Предположим, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, не параллельна плоскости альфа. Тогда существует точка N на этой прямой, такая что прямая MN пересекает плоскость альфа в точке P.

Так как AM = MB и BM = MC, то у нас имеется соотношение трех равенств:

AM + MB = AM + MC.

По свойству трапеции AB + CD = AD + BC, а так как AM + MB = AM + MC, то получаем:

AB + CD = AD + BC.

Заметим, что левая часть этого равенства представляет собой сумму длин двух сторон трапеции ABCD, а правая часть - сумму длин двух других сторон. Однако, такое равенство возможно только для параллелограмма, а не для трапеции.

Таким образом, предположение о том, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, не параллельна плоскости альфа, приводит к противоречию.

Следовательно, прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельна плоскости альфа.