Question

Точка О не принадлежит плоскости паралелограмма ABCD. Докажите, что прямая проходящая через середины отрезков OC и OD, параллельна прямой AB

Answer 1

Ответ:

СД и АВ параллельны. Отсюда следует, что прямые ЕК и АВ параллельны ( они совпадать не могут т. к. ЕК не

лежит в плоскости АВС).

Объяснение:

Середину отрезка ОС обозначим буквой Е, а середину отрезка ОД -- точкой К. В треугольнике СОД

отрезок ЕК будет средней линией, следовательно, ЕК и СД параллельны. Т. к. АВСД параллелограмм, то

СД и АВ параллельны. Отсюда следует, что прямые ЕК и АВ параллельны ( они совпадать не могут т. к. ЕК не

лежит в плоскости АВС).

Answer 2

Пусть точка О не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD.

Обозначим середины отрезков OC и OD как M и N соответственно. Нам нужно доказать, что прямая MN параллельна прямой AB.

Рассмотрим треугольник OCM. Поскольку M - середина отрезка OC, то OM = MC. Аналогично, в треугольнике ODN имеем ON = ND.

Так как точка О не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD, векторы OA и OB не коллинеарны. Значит, эти векторы несоизмеримы, их сумма не равна нулевому вектору.

Посмотрим на разность векторов OC и OD: OC - OD = (OA + AC) - (OA + AD) = AC - AD

Поскольку AC и AD - это стороны параллелограмма, они параллельны и равны по длине. Следовательно, их разность AC - AD равна нулевому вектору.

Таким образом, получаем, что OC - OD = 0. Это означает, что векторы OC и OD равны по длине и противоположно направлены.

Теперь рассмотрим вектор MN. Поскольку M и N - середины соответствующих отрезков, то MN = 0.

Таким образом, получаем, что OC - OD = 0 и MN = 0. Это значит, что векторы OC - OD и MN равны по длине и направлены в одну сторону.

Из этого следует, что прямая MN параллельна прямой, заданной вектором AB.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков OC и OD, параллельна прямой AB, если точка О не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD.