Question

ABCD - параллелограмм, M - середина BC. Выразить (над всем дальше вектора) DO, DM, AC через a = DC;b=DA

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABD: по правилу треугольника

$\vec{DB}=\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{DA}+\vec{DC}=\vec{a}+\vec{b}$

O - точка пересечения диагоналей параллелограмма и делит она диагонали пополам, значит

$\vec{DO}=\dfrac{1}{2}\vec{DB}=\dfrac{\vec{a}}{2}+\dfrac{\vec{b}}{2}$

Поскольку М - середина, то она делит BC пополам.

По правилу треугольника из треугольника DMC

$\vec{DM}=\vec{DC}+\vec{CM}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2}\vec{CB}=\vec{DC}+\dfrac{1}{2}\vec{DA}=\vec{a}+\dfrac{\vec{b}}{2}$

Из треугольника ACD по правилу треугольника

$\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}=-\vec{DA}+\vec{DC}=\vec{a}-\vec{b}$

Answer 2

В параллелограмме ABCD, если M является серединой отрезка BC, то BM = MC.

Выразим вектор DO через a и b: DO = DC + CO

Так как параллелограмм ABCD, то DC = AB, а также CO = -BA (противоположный вектор к BA). Таким образом:

DO = AB - BA

Выразим вектор DM через a и b: DM = DC + CM

Поскольку M является серединой отрезка BC, то BM = MC, и поэтому CM = BM = MC.

DM = DC + BM

Заметим, что DC = AB и BM = BA, поэтому:

DM = AB + BA

Теперь выразим вектор AC через a и b: AC = AB + BC

Однако, мы знаем, что BC = -DA (противоположный вектор к DA), поэтому:

AC = AB - DA

Таким образом, выражения для векторов DO, DM и AC через a = DC и b = DA следующие:

DO = AB - BA DM = AB + BA AC = AB - DA