Question

Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра . Побыстрее... Отвечу лучшим !!

Answer 1

Пусть стороны треугольника a, b, c. Медиана m, проведена к стороне b
По св-ву треугольника сторона всегда меньше суммы двух других сторон.
Получим: m<a+b/2 и m<c+b/2
Значит, m+m<(a+b/2)+(c+b/)
2m<a+b+c
2m<P
m<P/2

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Предположим, что в треугольнике ABC стороны AB, BC и AC имеют длины a, b и c соответственно, а медиана AD разделяет сторону BC на две равные части.

Из неравенства треугольника получаем следующие неравенства:

AD + BD > AB -- (1) AD + DC > AC -- (2)

Так как медиана AD делит сторону BC на две равные части, то BD = DC = (1/2)b.

Подставим это в неравенства (1) и (2):

AD + (1/2)b > a -- (3) AD + (1/2)b > c -- (4)

Сложим неравенства (3) и (4):

2AD + b > a + c

Так как a + c = 2s (где s - полупериметр треугольника), то:

2AD + b > 2s

Вычтем b из обеих частей неравенства:

2AD > 2s - b

Разделим обе части неравенства на 2:

AD > s - (1/2)b

Так как s - (1/2)b является положительным числом (так как полупериметр треугольника больше половины любой из его сторон), то мы можем записать:

AD > s - (1/2)b > 0

Таким образом, медиана AD больше нуля.

Так как AD > 0, а полупериметр s - (1/2)b > 0, то можно заключить, что медиана треугольника меньше его полупериметра:

AD < s

Таким образом, доказано, что медиана треугольника меньше его полупериметра.