Question

Сформулируйте признаки параллельности двух прямых и докажите один из них​

Answer 1

Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:
Через точку К - середину отрезка секущей - проведем перпендикуляр к прямой b - КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН' по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН' по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН'К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН', значит они параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.

Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.

Answer 2

Признаки параллельности двух прямых:

1. Первый признак: Углы между прямыми Если две прямые параллельны, то углы между ними равны. Иными словами, если две прямые имеют одинаковый угол наклона (или параллельны осям координат), то они параллельны.

Доказательство:

Предположим, у нас есть две прямые l₁ и l₂ с углами наклона α₁ и α₂ соответственно. Если эти углы равны, то можно сказать, что эти прямые параллельны.

Для доказательства, предположим обратное. Пусть прямые l₁ и l₂ не параллельны, тогда они пересекаются в некоторой точке A.

Теперь рассмотрим треугольник ABC, где BC - отрезок, проведенный от точки B на прямой l₁ перпендикулярно l₂, и AC - отрезок, проведенный от точки A на прямой l₂ перпендикулярно l₁.

Поскольку углы ABC и BAC являются прямыми углами (BC перпендикулярно l₂ и AC перпендикулярно l₁), то эти углы равны 90 градусам.

Из построения треугольника ABC следует, что углы BAC и ABC равны, поскольку треугольник ABC является прямоугольным и два его угла являются прямыми.

Теперь рассмотрим углы BCA и CAB. Поскольку эти углы являются внутренними углами треугольника ABC, и их сумма должна быть 180 градусов, то BCA + CAB = 180 градусов.

Но у нас есть две прямые, поэтому BCA + CAB = 90 + 90 = 180 градусов.

Таким образом, мы получаем противоречие: BCA + CAB не может быть одновременно равно 180 градусов и 90 + 90 градусов.

Следовательно, наше предположение неверно, и две прямые l₁ и l₂, у которых углы наклона α₁ и α₂ равны, должны быть параллельными.