Question

8 класс Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Answer 1

Ответ:Доказано

Объяснение:Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.Доказательство. Обозначим буквой M произвольную точку серединного перпендикуляра a к отрезку AB и докажем, что AM = BM.Если точка M совпадает с серединой O отрезка AB, то справедливость равенства AM = BM очевидна. Если же M и O – различные точки, то прямоугольные треугольники OAM и OBM равны по двум катетам, поэтому AM = BM. Теорема доказана.

Answer 2

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку гласит, что для любого отрезка AB существует единственная прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему.

Доказательство: Для начала, обозначим середину отрезка AB как точку M. Предположим, что существуют две различные прямые, проходящие через точку M и перпендикулярные отрезку AB. Обозначим эти прямые как l₁ и l₂.

Пусть P₁ и P₂ — точки пересечения отрезка AB с прямыми l₁ и l₂ соответственно. Так как отрезок AB перпендикулярен обеим прямым, то углы AMP₁ и AMP₂ будут прямыми углами.

Так как точка M является серединой отрезка AB, то AM = BM.

Рассмотрим треугольники AMP₁ и AMP₂:

1. AM = AM (общая сторона)
2. MP₁ = MP₂ (общая сторона)
3. Угол AMP₁ = Угол AMP₂ = 90° (прямые углы)

Таким образом, по стороне-стороне-стороне (ССС) треугольники AMP₁ и AMP₂ равны.

Следовательно, AP₁ = AP₂ и BP₁ = BP₂.

Но это означает, что точки P₁ и P₂ совпадают, так как они находятся на одном и том же отрезке AB и имеют равные расстояния до его концов.

Таким образом, предположение о существовании двух различных прямых, проходящих через точку M и перпендикулярных отрезку AB, приводит к противоречию. Следовательно, существует единственная прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.