Question

В кубе abcda1b1c1d1 точка м - центр грани AA1B1B. найдите угол между векторами DM и C1B.

Answer 1

Пусть куб единичный

Пусть А - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось  Z - AA1

Вектора

DM ( 0,5 ; -1 ; 0,5 )

C1B ( 0 ; -1 ; -1)

Косинус искомого угла

DM*C1B / | DM | / | C1B | = 0.5 / √(0.25+1+0.25) / √ 2 = 1  /  (2√3)

Answer 2

Рассмотрим плоскость, содержащую векторы DM и C1B. Для этого найдем векторное произведение этих векторов:

DM × C1B = (CD + DB + BM) × (CB + B1C1) =
= CD × CB + CD × B1C1 + DB × CB + DB × B1C1 + BM × CB + BM × B1C1

Учитывая, что векторы CB и B1C1 параллельны грани A1B1CB, а грани AA1B1B и A1B1CB – параллельны, получаем:

DM × C1B = CD × CB + BM × B1C1.

Таким образом, вектор DM × C1B лежит в плоскости ABCD, т.е. перпендикулярен вектору AA1.

Угол между векторами DM и C1B равен углу между векторами DM × AA1 и C1B × AA1, т.е. углу между проекциями векторов DM и C1B на плоскость AA1CB.

Проекция вектора DM на плоскость AA1CB равна проекции вектора BM на эту плоскость (т.к. грани AA1B1B и A1B1CB параллельны), а проекция вектора C1B на плоскость AA1CB равна проекции вектора CB на эту плоскость (т.к. вектор B1C1 перпендикулярен плоскости AA1CB).

Таким образом, угол между векторами DM и C1B равен углу между векторами BM и CB на плоскости AA1CB. Найдем этот угол с помощью скалярного произведения векторов:

cos(угол между BM и CB) = (BM * CB) / (|BM| * |CB|) =
= ((BD + DM) * (CB + CD)) / (|BD + DM| * |CB + CD|) =
= ((a-a1+d1) * (a+b)) / ((a-a1+d1)^2 + b^2 + c^2)^(1/2) * (b^2 + (a-c)^2 + d^2)^(1/2).

Таким образом, угол между векторами DM и C1B равен acos(cos(угол между BM и CB)), который можно вычислить, зная координаты вершин куба и точки М.