Question

В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Найти объём призмы, если её боковая поверхность равна 120 см^2.

Answer 1

a=8 см, b= 6 см - катеты
c - гипотенуза
Sбок.=120 см²
V-?
c²=a²+b² (по теореме Пифагора)
c²=36+64=100
c=√100=10 см
Sбок.=Pосн.*H (H - высота)
Pосн.=10+6+8=24 см
H=Sбок./Pосн.=120/24=5 см
V=Sосн.*H
Sосн.=1/2*a*b (для прямоугольного треугольника)
Sосн.=1/2*8*6=24 см²
V=24*5=120 см³

Ответ: 120 см³.

Answer 2

Высота треугольной призмы равна гипотенузе прямоугольного треугольника:

$$h = \sqrt{8^2+6^2} = 10\,\text{см}$$

Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту:

$$120\,\text{см}^2 = 2(a+b)h$$

Заменим $a$ и $b$ на известные катеты:

$$120\,\text{см}^2 = 2(8+6) \cdot 10\,\text{см} \quad \Rightarrow \quad a+b = 7\,\text{см}$$

Будем решать задачу двумя способами.

\textbf{Способ 1}. Площадь основания равна половине площади прямоугольного треугольника:

$$S_\text{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{см} \cdot 6\,\text{см} = 24\,\text{см}^2$$

Тогда объём призмы можно вычислить по формуле:

$$V = S_\text{осн} \cdot h = 24\,\text{см}^2 \cdot 10\,\text{см} = \boxed{240\,\text{см}^3}$$

\textbf{Способ 2}. Заметим, что катеты прямоугольного треугольника и полупериметр основания образуют подобные треугольники:

\begin{align*}
\frac{a}{h} &= \frac{a}{\sqrt{8^2+6^2}} = \frac{4}{5} \\
\frac{b}{h} &= \frac{b}{\sqrt{8^2+6^2}} = \frac{3}{5} \\
\frac{p}{2}&=\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+h}{2}=\frac{7+10}{2}=8.5
\end{align*}

Тогда можно записать систему уравнений на $a$ и $b$:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\frac{a}{h} = \frac{4}{5} \\
\frac{b}{h} = \frac{3}{5} \\
a + b = 7 \\
a + b + \sqrt{a^2+b^2}=17
\end{cases}
\end{equation*}

Первые два уравнения можно решить методом подстановки:

$$a=\frac{4}{5}h, \quad b=\frac{3}{5}h,\quad h^2 = a^2+b^2 \quad \Rightarrow \quad h=2\sqrt{10}$$

Подставив в оставшиеся уравнения, найдём значение $a$ и $b$:

$$a+b=7-\sqrt{100}=2, \quad a = \frac{4}{5}h = 8\sqrt{2}, \quad b = \frac{3}{5}h = 6\sqrt{2}$$

Зная стороны основания и высоту, легко вычислить объём призмы:

$$V = \frac{1}{3}S_\text{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8\,\text{см} \cdot 6\,\text{см} \cdot 2\sqrt{10}\,\text{см} = \boxed{240\,\text{см}^3}$$